Calcule o limite de cada uma das sequências abaixo:
lim x +infty(n-1n+3)^5-4 n(R: e^16)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limnto+inftyl(n-1n+3r)^5-4n,
que é um tipo de limite de sequência onde a base tende a 1 e o expoente tende a -infty. Vamos usar a estratégia de escrever a expressão na forma
expl((5-4n)lnl(tfracn-1n+3r)r)
e então obter o limite do argumento do exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a razão em termos de n:
n-1n+3 = nl(1-tfrac1nr)nl(1+tfrac3nr) = 1-tfrac1n1+tfrac3n

Passo 3

Tomamos o logaritmo e fazemos expansão em série para pequenos tfrac1n:
lnl(1-tfrac1n1+tfrac3nr) =lnl(1-tfrac1nr)-lnl(1+tfrac3nr)
Usando
ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2), obtemos para ntoinfty:
ln(1-tfrac1n)=-tfrac1n-tfrac12n^2+o(tfrac1n^2), ln(1+tfrac3n)=tfrac3n-tfrac92n^2+o(tfrac1n^2)
Subtraindo,
lnl(tfrac1-tfrac1n1+tfrac3nr) =-tfrac1n-tfrac12n^2-l(tfrac3n-tfrac92n^2r)+o(tfrac1n^2) =-tfrac4n+tfrac4n^2+o(tfrac1n^2)

Passo 4

Multiplicamos pelo expoente (5-4n):
(5-4n)lnl(tfrac1-tfrac1n1+tfrac3nr) =(5-4n)l(-tfrac4n+tfrac4n^2+o(tfrac1n^2)r)
Distribuindo e tomando ntoinfty, os termos que não são constantes tendem a zero, e fica
(5-4n)l(-tfrac4nr)longrightarrow 16

Passo 5

Portanto o logaritmo do limite tende a 16, ou seja,
limntoinfty(5-4n)lnl(tfracn-1n+3r)=16
Logo a sequência original satisfaz
limntoinftyl(tfracn-1n+3r)^5-4n =exp(16)=e^16

Resposta

e^16

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