Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty (n-1)!(n+1)^2(R : diverge)

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a série
sumn=1^+infty an com an = (n-1)!(n+1)^2
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da divergência, que diz que, se limntoinftyanneq0, a série diverge.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
limntoinftyan = limntoinfty(n-1)!(n+1)^2
Sabemos que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, então esse quociente tende a infinito.

Passo 3

Para ver isso de forma clara, podemos usar o teste da razão como ilustração:
an+1an = n!(n+2)^2(n-1)!(n+1)^2 = n;(n+1)^2(n+2)^2 sim n(ntoinfty),
ou seja, an+1antoinfty>1. Isso confirma que an cresce sem parar, portanto limntoinftyan=inftyneq0.

Passo 4

Como limntoinftyanneq0, a série não pode convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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