Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
: diverge)
Passo 1
O enunciado nos pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da divergência, que diz que, se
, a série diverge.
Passo 2
Calculamos o limite do termo geral:
Sabemos que o fatorial cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, então esse quociente tende a infinito.
Passo 3
Para ver isso de forma clara, podemos usar o teste da razão como ilustração:
ou seja,
. Isso confirma que
cresce sem parar, portanto
.
Passo 4
Como
, a série não pode convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que ela diverge.
Resposta
A série diverge.