Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x -infty raizx^2+2 x-1-x+1

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto -inftydfracraizx^2+2x-1-x+1, que é um problema de limite no infinito sem usar derivadas. Vamos precisar usar a fatoração de x^2 dentro da raiz e a relação |x|=-x quando x é negativo.

Passo 2

Observamos que dentro da raiz podemos extrair x^2 assim:
raizx^2+2x-1=raizx^2l(1+tfrac2x-tfrac1x^2r) = |x|raiz1+tfrac2x-tfrac1x^2

Passo 3

Para xto -infty, temos x<0, logo |x|=-x. Substituindo no numerador, a expressão fica:
raizx^2+2x-1-x+1 = -x,raiz1+tfrac2x-tfrac1x^2-x+1

Passo 4

Agora fatoramos -x no denominador:
-x,raiz1+tfrac2x-tfrac1x^2-x+1 = -x,raiz1+tfrac2x-tfrac1x^2-xl(1-tfrac1xr) = raiz1+tfrac2x-tfrac1x^21-tfrac1x

Passo 5

Para concluir, basta observar que quando xto -infty vale tfrac2xto0 e tfrac1xto0. Então
limxto -inftyraiz1+tfrac2x-tfrac1x^21-tfrac1x = raiz1+0-01-0 = 1

Resposta

1

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