Questão 4: (Valor 3,0)
Use a regra da cadeia para calcule partial zpartial u e partial zpartial v onde
z=tg(x+y) com x=u cos v e y=u sen v

Passo 1

O problema pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia: temos z = tg(x+y) com x = u cos v e y = u sen v. O conteúdo aqui é a regra da cadeia em funções de várias variáveis e precisamos conhecer a derivada de tan(u) (que é sec^2(u)) e as derivadas parciais de funções trigonométricas.

Passo 2

Para funções de várias variáveis, a regra da cadeia diz que
partial zpartial u=partial zpartial x,partial xpartial u+partial zpartial y,partial ypartial u,
partial zpartial v=partial zpartial x,partial xpartial v+partial zpartial y,partial ypartial v

Passo 3

Como z = tg(x+y), se definirmos w = x+y então dz/dw = sec^2(w). Logo,
partial zpartial x=sec^2(x+y), partial zpartial y=sec^2(x+y)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y:
partial xpartial u=cos v, partial ypartial u=sin v,
partial xpartial v=-usin v, partial ypartial v=ucos v

Passo 5

Substituindo tudo na regra da cadeia e lembrando que x+y = u(\cos v+\sin v), obtemos:
partial zpartial u=sec^2l(u(cos v+sin v)r),(cos v+sin v),
partial zpartial v=sec^2l(u(cos v+sin v)r),l(-usin v+ucos vr) =sec^2l(u(cos v+sin v)r),u(cos v-sin v)

Resposta

partial zpartial u=sec^2l(u(cos v+sin v)r),(cos v+sin v), partial zpartial v=sec^2l(u(cos v+sin v)r),u(cos v-sin v)

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