Questão 4: (Valor 3,0)
Mostre que lim (x, y) (0,0) x yraizx y+1-1=2

Passo 1

Resumo: O enunciado pede para calcular o limite
lim(x,y)to(0,0)xyraizxy+1-1.
Conteúdo: limite de função de duas variáveis e técnica de racionalização de denominador com raiz quadrada.

Passo 2

Ao substituir (x,y)=(0,0) obtemos a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é raizxy+1+1.

Passo 3

Multiplicando pela razão equivalente, ficamos com:
xyraizxy+1-1;cdot;raizxy+1+1raizxy+1+1 = xy,(raizxy+1+1)(raizxy+1-1)(raizxy+1+1)
No denominador aplicamos a diferença de quadrados:
(raizxy+1)^2 - 1^2 = xy
Logo a expressão simplifica para
xy,(raizxy+1+1)xy = raizxy+1 + 1

Passo 4

Como (x,y)to(0,0) implica xyto0, temos raizxy+1to1. Portanto a expressão simplificada tende a 1+1=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados