Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
Valor: 6 pontos
lim x -infty 3 x^2-2 x+3raiz4 x^2+5

Passo 1

Estamos analisando o limite quando x→−∞ da função (3x²−2x+3)/√(4x²+5). O conteúdo aqui é limite de função que envolve raiz quadrada de polinômio. Para resolver sem derivada, vamos usar fatoração e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, fatoramos x² no numerador e x² dentro da raiz para simplificar a expressão. Escrevemos:
3x^2-2x+3raiz4x^2+5 = x^2l(3 - 2x + 3x^2r)raizx^2l(4 + 5x^2r)

Passo 3

Em seguida, tiramos a raiz de x² no denominador. Como x→−∞, temos |x| = −x. Logo:
raizx^2l(4 + tfrac5x^2r) = |x|raiz4 + tfrac5x^2 = (-x)raiz4 + tfrac5x^2

Passo 4

Substituindo no quociente, obtemos:
x^2(3 - tfrac2x + tfrac3x^2)(-x)raiz4 + tfrac5x^2 = -x,(3 - tfrac2x + tfrac3x^2)raiz4 + tfrac5x^2
Para x→−∞, os termos 2/x e 3/x² tendem a zero e √(4+5/x²)→2. Assim a expressão principal se comporta como
-xcdot32 = -32x

Passo 5

Como x→−∞, −(3/2)x → +∞. Portanto o limite não é finito e diverge para +∞.

Resposta

O limite diverge para +∞.

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