Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
Valor: 6 pontos
Passo 1
Estamos analisando o limite quando x→−∞ da função (3x²−2x+3)/√(4x²+5). O conteúdo aqui é limite de função que envolve raiz quadrada de polinômio. Para resolver sem derivada, vamos usar fatoração e comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, fatoramos x² no numerador e x² dentro da raiz para simplificar a expressão. Escrevemos:
Passo 3
Em seguida, tiramos a raiz de x² no denominador. Como x→−∞, temos |x| = −x. Logo:
Passo 4
Substituindo no quociente, obtemos:
Para x→−∞, os termos 2/x e 3/x² tendem a zero e √(4+5/x²)→2. Assim a expressão principal se comporta como
Passo 5
Como x→−∞, −(3/2)x → +∞. Portanto o limite não é finito e diverge para +∞.
Resposta
O limite diverge para +∞.