Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
ll(x+y-4)(x^2+x y)(x-1)+(y-3) ; & se y neq 4-x 2 ; & se y=4-x e P0(1,3)

Passo 1

O enunciado define a função f(x,y) de forma piecewise e pede para investigar o limite lim(x,y)to(1,3)f(x,y). O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e usaremos análise por diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Para os pontos em que yneq4-x, note que o denominador é
(x-1)+(y-3)=x+y-4,
que cancela com o mesmo fator no numerador. Assim, para yneq4-x temos:
f(x,y)=(x+y-4)(x^2+xy)x+y-4=x^2+xy

Passo 3

Agora vamos calcular o limite ao longo de caminhos específicos.
Escolhendo a reta x=1 e aproximando yto3, com yneq3 (logo yneq4-x), temos:
f(1,y)=1^2+1cdot y=1+y
Ao levar yto3 obtemos
limyto3f(1,y)=1+3=4

Passo 4

Em seguida, aproximando ao longo da reta y=4-x, por definição da função temos f(x,y)=2 para todos os pontos dessa reta. Logo, ao aproximar de (1,3) por esse caminho o valor permanece 2.

Passo 5

Como os limites por esses dois caminhos são diferentes (4 e 2), concluímos que o limite não pode existir.

Resposta

O limite lim(x,y)to(1,3)f(x,y) não existe, pois abordagens por caminhos distintos dão resultados diferentes (4 e 2).

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