Mostre que
não existe se:
e
Passo 1
O enunciado define a função
de forma piecewise e pede para investigar o limite
. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e usaremos análise por diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Para os pontos em que
, note que o denominador é
que cancela com o mesmo fator no numerador. Assim, para
temos:
Passo 3
Agora vamos calcular o limite ao longo de caminhos específicos.
Escolhendo a reta e aproximando
, com
(logo
), temos:
Escolhendo a reta
Ao levar
obtemos
Passo 4
Em seguida, aproximando ao longo da reta
, por definição da função temos
para todos os pontos dessa reta. Logo, ao aproximar de
por esse caminho o valor permanece 2.
Passo 5
Como os limites por esses dois caminhos são diferentes (4 e 2), concluímos que o limite não pode existir.
Resposta
O limite
não existe, pois abordagens por caminhos distintos dão resultados diferentes (4 e 2).