Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=11+x^2, x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n de f(x)=11+x^2 no ponto x0=0. O conteúdo principal envolve séries de Taylor (Maclaurin) e vamos usar a definição de expansão em série de potências e o binômio de Newton.

Passo 2

A série de Taylor de uma função f em x0=0 (Maclaurin) é
f(x)=sumk=0^infty f^(k)(0)k!x^k
Nesse caso, como só precisamos até grau n, buscamos os coeficientes até k=n.

Passo 3

Observamos que f(x)=(1+x^2)^-1 é uma função par, logo os termos ímpares na expansão são nulos (derivadas de ordem ímpar em 0 valem zero). Podemos usar diretamente o binômio de Newton para (1+u)^-1 com u=x^2:
(1+x^2)^-1=summ=0^infty(-1)^m(x^2)^m=summ=0^infty(-1)^m x^2m

Passo 4

A partir disso, o polinômio de Taylor de grau n é obtido truncando essa série na maior potência de x que não ultrapasse n. Como os expoentes são 2m, o índice m vai de 0 até lfloor n/2rfloor.

Resposta

Pn(x)=summ=0^lfloor n/2rfloor(-1)^m x^2m

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