Considere a e b números reais fixos e
g(x)= e^2 x, & se x >= 0, a x+b, & se x<0
(a) Determine o valor de b para que g seja contínua em x=0.
(b) Determine os valores de a e b para que g seja derivável em x=0.

Passo 1

Temos a função
g(x)= e^2x, & x>=0, ax + b, & x<0
Queremos em (a) escolher b para que g seja contínua em x=0 e em (b) escolher a e b para que g seja derivável em x=0. Vamos usar definições de continuidade por limites e de derivabilidade por derivadas laterais.

Passo 2

Para continuidade em x=0, impomos limxto0^-g(x)=g(0)=limxto0^+g(x). Do ramo esquerdo limxto0^-g(x)=b, do ramo direito limxto0^+g(x)=e^2cdot0=1 e g(0)=e^2cdot0=1. Logo b=1.

Passo 3

Para derivabilidade em x=0, além de ser contínua, igualamos as derivadas laterais: g'(0^-)=g'(0^+). No ramo x<0 temos g'(x)=a logo g'(0^-)=a; no ramo x>=0 g'(x)=2e^2x logo g'(0^+)=2e^0=2. Igualando dá a=2. Mantendo b=1, concluímos a=2 e b=1.

Resposta

a) b=1. b) a=2 e b=1.

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