Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
Valor: 6 pontos

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite limxto+inftyl(tfracx+5x-2r)^2x. O conteúdo envolvido são limites exponenciais do tipo (1+tfracan)^nto e^a, e vamos usar equivalências sem recorrer a derivadas.

Passo 2

Reescrevendo a base em função de uma forma 1+tfracalgoalgo:
x+5x-2=(x-2)+7x-2=1+7x-2

Passo 3

Transformamos a potência de modo a usar a forma padrão:
l(1+tfrac7x-2r)^2x= l[l(1+tfrac7x-2r)^x-2r]^tfrac2xx-2
Sabemos que (1+tfrac7n)^nto e^7 quando nto+infty. Aqui n=x-2to+infty.

Passo 4

Aplicando os limites:
  • Parte interna: l(1+tfrac7x-2r)^x-2to e^7
  • Fator do expoente: tfrac2xx-2=2cdottfracxx-2to2
    Portanto o limite total é (e^7)^2=e^14

Resposta

e^14

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