Calcule os seguintes limites
lim x 2 x^4-168-x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 2 x^4-168 - x^3. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções racionais em ponto de indeterminação 0/0, e vamos precisar usar fatoração de polinômios (diferença de quadrados e de cubos) para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Se a gente substituir x=2 diretamente, o numerador vira 2^4 -16 =0 e o denominador vira 8 -2^3 =0, caracterizando uma forma indeterminada do tipo 0/0. Nesses casos, não dá pra concluir o limite diretamente: precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Para o numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2 -4)(x^2 +4) = (x-2)(x+2)(x^2 +4)
Para o denominador, usamos a diferença de cubos em ordem invertida:
8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2-x)(4 +2x + x^2) = -(x-2)(x^2 +2x +4)

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator comum (x-2) no numerador e no denominador, lembrando de incluir o sinal negativo:
x^4 -168 - x^3 = (x-2)(x+2)(x^2 +4)-(x-2)(x^2 +2x +4) = -(x+2)(x^2 +4)x^2 +2x +4
Essa é a forma simplificada da função, válida em todos os pontos próximos a x=2 (exceto em x=2 no original), mas já sem a indeterminação.

Passo 5

Com a expressão simplificada, finalmente podemos calcular o limite por substituição:
limxto 2 -(x+2)(x^2 +4)x^2 +2x +4 = -(2+2)(2^2 +4)2^2 + 2cdot2 +4 = -4 cdot 84 +4 +4 = -3212 = -83

Resposta

-\frac{8}{3}

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