Calcule o limite, caso exista, nos itens abaixo; sendo P(x, y) e A(0,0) :
L=\lim _{P \rightarrow A} \frac{x y}{3 x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis da função
f(x,y)=\frac{xy}{3x^{2}+2y^{2}}
quando o ponto P=(x,y) se aproxima de A=(0,0). O conteúdo é análise de limite em \mathbb{R}^2. Para verificar se o limite existe, precisamos checar se o valor de f(x,y) ao aproximar de (0,0) independe do caminho seguido.

Passo 2

Vamos aproximar de (0,0) seguindo retas do tipo y=mx, com m constante. Substituindo em f, obtemos
f(x,mx) =\frac{x\,(m x)}{3x^{2}+2(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{3x^{2}+2m^{2}x^{2}} =\frac{m}{3+2m^{2}}.
Como essa expressão não depende de x, o limite ao longo de y=mx é
\lim_{x\to0}f(x,mx) =\frac{m}{3+2m^{2}}.

Passo 3

O valor \tfrac{m}{3+2m^{2}} varia com m. Por exemplo, para m=0 0 e para m=1 \tfrac{1}{5}. Como obtém-se resultados diferentes conforme o caminho, o limite em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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