Esboce o gráfico da região que representa o domíno de z=f(x, y), nos casos a seguir:
z=\frac{3 x}{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
z = f(x,y) = \frac{3x}{x - 2y}.
O conteúdo aqui é determinar o domínio de uma função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, isto é, o conjunto de todos os pares (x,y) em que a expressão está bem definida.

Passo 2

Para f(x,y) estar definida, o denominador não pode ser zero. Logo, devemos impor
x - 2y \neq 0.

Passo 3

A condição x - 2y = 0 descreve a reta
y = \frac{x}{2}.
Portanto, o domínio de f é o plano \mathbb{R}^2 sem essa reta.

Passo 4

Para esboçar o domínio, desenhe no plano cartesiano a reta y = \tfrac{x}{2} com linha tracejada (indicando que ela não faz parte do domínio) e observe que todos os pontos de ambos os lados dessa reta pertencem ao domínio de f.

Resposta

O domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - 2y \neq 0\}
ou seja, o plano dividido pela reta y = \tfrac{x}{2}, excluindo-se exatamente essa reta.

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