Esboce o gráfico da região que representa o domíno de z=f(x, y), nos casos a seguir:
z=\frac{4 x-1}{\sqrt{x^{3}-y}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do domínio de
z = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^3 - y}},
isto é, a região no plano (x,y) onde a função está bem definida. Precisamos usar as condições de existência de raízes reais e de denominador não nulo.

Passo 2

Como a raiz está no denominador, exigimos
x^3 - y > 0
para que o radicando seja não negativo e distinto de zero.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade, temos
y < x^3.
Logo, o domínio é o conjunto de todos os pontos (x,y) que ficam estritamente abaixo da curva y = x^3.

Passo 4

Para esboçar: desenhe a curva \,y = x^3 no plano e sombreie toda a região abaixo dela, sem incluir a própria curva (região “aberta”).

Resposta

O domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y < x^3\}.

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