Decida se o resultado do limite é verdadeiro ou falso: \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\left(6 x^{4}+x^{2}+2\right)}{-5 x^{6}-3}=-\infty

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
\lim_{x\to -\infty}\frac{6x^{4}+x^{2}+2}{-5x^{6}-3}
e decidir se esse limite vale -\infty. Vamos usar o comportamento assintótico de polinômios e a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Note que o numerador tem grau 4 e o denominador grau 6. Quando o grau do denominar maior que o do numerador, o limite costuma ser zero (pois o denominador cresce muito mais rápido).

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{6}, obtemos
\frac{6x^{4}+x^{2}+2}{-5x^{6}-3} = \frac{\frac{6x^{4}}{x^{6}}+\frac{x^{2}}{x^{6}}+\frac{2}{x^{6}}}{\frac{-5x^{6}}{x^{6}}-\frac{3}{x^{6}}} = \frac{6/x^{2}+1/x^{4}+2/x^{6}}{-5-3/x^{6}}.

Passo 4

À medida que x\to -\infty, todos os termos do tipo 1/x^{k} tendem a zero. Logo o quociente tende a
\frac{0+0+0}{-5-0} = 0.

Passo 5

O limite é 0, e não -\infty. Portanto, a afirmação dada é falsa.

Resposta

Falso.

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