Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da função $ \frac{\sin^{2}(x)}{x} $. Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento do numerador, que é $ \sin^{2}(x) $. Sabemos que o seno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Quando elevamos ao quadrado, $ \sin^{2}(x) $ fica entre 0 e 1. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador, que é $ x $. Conforme $ x $ cresce e tende ao infinito, o valor de $ x $ também cresce sem limites.
Passo 4
Com o numerador sempre entre 0 e 1 e o denominador crescendo sem parar, o quociente $ \frac{\sin^{2}(x)}{x} $ está ficando cada vez menor. Para formalizar isso, usamos o conceito de limite, onde uma razão com numerador limitado e denominador tendendo ao infinito tende a zero.
Passo 5
Portanto, aplicando essa lógica:
Resposta
O limite é igual a zero.