Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x infty tanh (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftytanh(x). O conteúdo envolve funções hiperbólicas e limites de funções que usam exponenciais. Para resolver, vamos precisar da definição de tanh(x) em termos de exponenciais e do fato de que e^x cresce muito rápido e e^-x tende a zero quando xtoinfty.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de tangente hiperbólica:
tanh(x) ,=, e^x - e^-xe^x + e^-x

Passo 3

Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por e^x. Isso nos dá:
tanh(x) ,=, e^x/e^x - e^-x/e^xe^x/e^x + e^-x/e^x,=,1 - e^-2x1 + e^-2x

Passo 4

Agora, quando xtoinfty, temos e^-2xto 0. Logo, a expressão no numerador tende a 1 - 0 = 1 e no denominador tende a 1 + 0 = 1. Portanto, o limite da razão é 1.

Resposta

1

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