Resolva:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função e pontos de máximo e mínimo locais da função f(x)=2 x^3+x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir onde a função $ f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 1 $ está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos onde ela atinge máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Então, vamos derivar cada termo:
f(x)

Passo 3

Agora, para achar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver para $ x $:
x
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, precisamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Temos três intervalos:
  1. $ x < -\frac{1}{3} $
  2. $ -\frac{1}{3} < x < 0 $
  3. $ x > 0 $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de $ f’(x) $.
  • Para $ x < -\frac{1}{3} $, por exemplo, $ x = -1 $:
    x < -13
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para $ -\frac{1}{3} < x < 0 $, por exemplo, $ x = -\frac{1}{6} $:
    -13 < x < 0
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
    x > 0
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, observamos como a derivada muda de sinal nos pontos críticos:
  • Em $ x = -\frac{1}{3} $:
    A derivada muda de positiva para negativa, indicando que a função passa de crescendo para decrescendo. Isso significa que $ x = -\frac{1}{3} $ é um ponto de máximo local.
  • Em $ x = 0 $:
    A derivada muda de negativa para positiva, indicando que a função passa de decrescendo para crescendo. Isso significa que $ x = 0 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função $ f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 1 $ está crescendo nos intervalos $ x < -\frac{1}{3} $ e $ x > 0 $, e está decrescendo no intervalo $ -\frac{1}{3} < x < 0 $. Além disso, ela possui um ponto de máximo local em $ x = -\frac{1}{3} $ e um ponto de mínimo local em $ x = 0 $.

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