Resolva:
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função e pontos de máximo e mínimo locais da função
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função e pontos de máximo e mínimo locais da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir onde a função $ f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 1 $ está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos onde ela atinge máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Então, vamos derivar cada termo:
Passo 3
Agora, para achar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver para $ x $:
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, precisamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos.
Temos três intervalos:
- $ x < -\frac{1}{3} $
- $ -\frac{1}{3} < x < 0 $
- $ x > 0 $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e ver o sinal de $ f’(x) $.
-
Para $ x < -\frac{1}{3} $, por exemplo, $ x = -1 $:Então, a função está crescendo nesse intervalo.
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Para $ -\frac{1}{3} < x < 0 $, por exemplo, $ x = -\frac{1}{6} $:Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
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Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Para isso, observamos como a derivada muda de sinal nos pontos críticos:
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Em $ x = -\frac{1}{3} $:A derivada muda de positiva para negativa, indicando que a função passa de crescendo para decrescendo. Isso significa que $ x = -\frac{1}{3} $ é um ponto de máximo local.
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Em $ x = 0 $:A derivada muda de negativa para positiva, indicando que a função passa de decrescendo para crescendo. Isso significa que $ x = 0 $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função $ f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 1 $ está crescendo nos intervalos $ x < -\frac{1}{3} $ e $ x > 0 $, e está decrescendo no intervalo $ -\frac{1}{3} < x < 0 $. Além disso, ela possui um ponto de máximo local em $ x = -\frac{1}{3} $ e um ponto de mínimo local em $ x = 0 $.