Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão envolve os termos
e , logo para que a expressão esteja bem definida precisamos de e nos pontos considerados (em particular, para suficientemente pequeno basta ter ). - O enunciado pede o limite quando
; devemos determinar o valor do limite quando ele existe e apontar se há algum valor de que impede a existência.
Passo 2
Estratégia escolhida: simplificar algebricamente a expressão do quociente de diferenças para cancelar o fator
no numerador, e então aplicar propriedades elementares de limites (continuidade de polinômios e quocientes quando denominador não é zero). Esta abordagem é direta, usa apenas manipulações algébricas e regras básicas de limites, e é adequada sem calculadora.
Lembrete de ferramentas que vamos usar:
- Para somar/subtrair frações, colocar no mesmo denominador comum.
- Fatorar quando possível para cancelar
. - Se após simplificação a expressão ficar como uma função que é contínua em
no entorno de , podemos substituir diretamente.
Passo 3
Calcular o numerador como uma única fração. Começando por
Agora expandir
:
Substituindo na diferença:
Portanto
Passo 4
Colocar agora toda a expressão do limite (o quociente acima dividido por
):
Fatorar
no numerador:
Substituindo:
Passo 5
Cancelar o fator
(válido para
; o limite considera
tendendo a
por valores distintos de zero, então a simplificação é legítima):
Agora temos uma função de
que é um quociente de polinômios em
(com parâmetro
). Para
e
suficientemente pequeno, o denominador
é diferente de zero, portanto podemos usar a continuidade para tomar o limite por substituição:
Passo 6
Simplificar a fração obtida:
Portanto, para
o limite existe e vale
.
Observação alternativa (verificação fácil): a expressão é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de
. Pelo “regra do poder”,
, que coincide com
.
Passo 7
Tratar o caso
: se
a expressão original contém termos
e para
próximo de zero também
, então a expressão não é definida para
(divisões por zero). Logo o limite não existe para
.
Resposta
Não existe para