Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{h}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{h}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A variável que tende a zero é h.
  • A expressão envolve os termos \dfrac{1}{(x+h)^{2}} e \dfrac{1}{x^{2}}, logo para que a expressão esteja bem definida precisamos de x\neq 0 e x+h\neq 0 nos pontos considerados (em particular, para h suficientemente pequeno basta ter x\neq 0).
  • O enunciado pede o limite quando h\to 0; devemos determinar o valor do limite quando ele existe e apontar se há algum valor de x que impede a existência.

Passo 2

Estratégia escolhida: simplificar algebricamente a expressão do quociente de diferenças para cancelar o fator h no numerador, e então aplicar propriedades elementares de limites (continuidade de polinômios e quocientes quando denominador não é zero). Esta abordagem é direta, usa apenas manipulações algébricas e regras básicas de limites, e é adequada sem calculadora.
Lembrete de ferramentas que vamos usar:
  • Para somar/subtrair frações, colocar no mesmo denominador comum.
  • Fatorar quando possível para cancelar h.
  • Se após simplificação a expressão ficar como uma função que é contínua em h no entorno de 0, podemos substituir h=0 diretamente.

Passo 3

Calcular o numerador como uma única fração. Começando por
\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - (x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Agora expandir (x+h)^{2}:
(x+h)^{2} = x^{2} + 2xh + h^{2}.
Substituindo na diferença:
x^{2} - (x+h)^{2} = x^{2} - (x^{2}+2xh+h^{2}) = -2xh - h^{2}.
Portanto
\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} = \frac{-2xh - h^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 4

Colocar agora toda a expressão do limite (o quociente acima dividido por h):
\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{h} = \frac{-2xh - h^{2}}{h\,x^{2}(x+h)^{2}}.
Fatorar h no numerador:
-2xh - h^{2} = h(-2x - h).
Substituindo:
\frac{-2xh - h^{2}}{h\,x^{2}(x+h)^{2}} = \frac{h(-2x - h)}{h\,x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 5

Cancelar o fator h (válido para h\neq 0; o limite considera h tendendo a 0 por valores distintos de zero, então a simplificação é legítima):
\frac{h(-2x - h)}{h\,x^{2}(x+h)^{2}} = \frac{-2x - h}{x^{2}(x+h)^{2}} \quad\text{para } h\neq 0.
Agora temos uma função de h que é um quociente de polinômios em h (com parâmetro x). Para x\neq 0 e h suficientemente pequeno, o denominador x^{2}(x+h)^{2} é diferente de zero, portanto podemos usar a continuidade para tomar o limite por substituição:
\lim_{h\to 0}\frac{-2x - h}{x^{2}(x+h)^{2}} = \frac{-2x - 0}{x^{2}(x+0)^{2}} = \frac{-2x}{x^{2}\,x^{2}}.

Passo 6

Simplificar a fração obtida:
\frac{-2x}{x^{2}\,x^{2}} = \frac{-2x}{x^{4}} = -\frac{2}{x^{3}}.
Portanto, para x\neq 0 o limite existe e vale -\dfrac{2}{x^{3}}.
Observação alternativa (verificação fácil): a expressão é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de f(x)=x^{-2}. Pelo “regra do poder”, f'(x) = -2x^{-3}, que coincide com -\dfrac{2}{x^{3}}.

Passo 7

Tratar o caso x=0: se x=0 a expressão original contém termos \dfrac{1}{x^{2}} e para h próximo de zero também \dfrac{1}{(x+h)^{2}}=\dfrac{1}{h^{2}}, então a expressão não é definida para x=0 (divisões por zero). Logo o limite não existe para x=0.

Resposta

-\dfrac{2}{x^{3}} para x\neq 0
Não existe para x=0

Exercícios relacionados