Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite (quando existe):
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Deve-se avaliar o comportamento da razão quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o valor do numerador e do denominador em
(substituição direta) para verificar se há alguma indeterminação.
Cálculo do numerador:
Cálculo do denominador:
Portanto, ao aproximar
de
o numerador tende a
e o denominador tende a
.
Passo 3
Agora uma explicação didática da teoria que usamos: polinômios são funções contínuas em todo lugar. Isso significa que, para polinômios
e
, tem-se
Além disso, se
, então a razão também é contínua nesse ponto e
Em palavras: quando o denominador tende a um número diferente de zero, basta substituir
para obter o limite.
No nosso caso verificamos que o denominador em
é
, que é diferente de zero. Logo podemos aplicar essa propriedade de continuidade.
Passo 4
Aplicando a propriedade mencionada:
Como complemento didático rápido: se o denominador também tivesse dado zero (situação
), teríamos uma indeterminação e então usaríamos técnicas como fatoração de polinômios ou a regra de L’Hôpital para resolver. Exemplo curto ilustrativo:
. Aqui substituição direta dá
, mas fatorando
e simplificando obtém-se
.