Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{3}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite (quando existe):
\lim_{x\to-4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{3}-3x-4}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}+5x+4.
  • O denominador é o polinômio x^{3}-3x-4.
  • Deve-se avaliar o comportamento da razão quando x se aproxima de -4.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o valor do numerador e do denominador em x=-4 (substituição direta) para verificar se há alguma indeterminação.
Cálculo do numerador:
(-4)^{2}+5\cdot(-4)+4 = 16 - 20 + 4 = 0.
Cálculo do denominador:
(-4)^{3}-3\cdot(-4)-4 = -64 + 12 - 4 = -56.
Portanto, ao aproximar x de -4 o numerador tende a 0 e o denominador tende a -56.

Passo 3

Agora uma explicação didática da teoria que usamos: polinômios são funções contínuas em todo lugar. Isso significa que, para polinômios p(x) e q(x), tem-se
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} q(x)=q(a).
Além disso, se q(a)\neq 0, então a razão também é contínua nesse ponto e
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.
Em palavras: quando o denominador tende a um número diferente de zero, basta substituir x=a para obter o limite.
No nosso caso verificamos que o denominador em x=-4 é -56, que é diferente de zero. Logo podemos aplicar essa propriedade de continuidade.

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada:
\lim_{x\to-4}\frac{x^{2}+5x+4}{x^{3}-3x-4}=\frac{\,\lim_{x\to-4}(x^{2}+5x+4)\,}{\,\lim_{x\to-4}(x^{3}-3x-4)\,}=\frac{0}{-56}=0.
Como complemento didático rápido: se o denominador também tivesse dado zero (situação 0/0), teríamos uma indeterminação e então usaríamos técnicas como fatoração de polinômios ou a regra de L’Hôpital para resolver. Exemplo curto ilustrativo: \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Aqui substituição direta dá 0/0, mas fatorando x^{2}-1=(x-1)(x+1) e simplificando obtém-se \lim_{x\to1}(x+1)=2.

Resposta

0

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