Mostre que \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{4} \cdot \cos \left(\frac{2}{x}\right)\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o valor do limite
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{4}\cdot\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)\bigr).
Informações dadas / relevantes:
  • A função considerada é f(x)=x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr).
  • O objetivo é provar que o limite quando x tende a 0 existe e encontrar seu valor.
  • Sabemos, por propriedades conhecidas da função cosseno, que \cos(t) é sempre um número entre -1 e 1 para todo t.

Passo 2

Usar a propriedade de que o cosseno é limitado. Para todo x\neq 0 vale
-1 \le \cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le 1.
Como x^{4}\ge 0 para todo x, multiplicando a desigualdade por x^{4} (quantidade não negativa) obtemos
-x^{4} \le x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le x^{4}.

Passo 3

Lembrando o enunciado do teorema do confronto (squeeze theorem) de forma clara e simples:
Se tiver funções g(x), f(x), h(x) tais que, para x próximos de 0 (exceto possivelmente em 0),
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se
\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=L,
então
\lim_{x\to 0}f(x)=L.
Aqui g,h,f são funções qualquer e L é um número real. A ideia é que se f fica sempre “espremida” entre g e h e os dois extremos vão para o mesmo limite, f também tem que ir para esse limite.

Passo 4

Aplicando o teorema do confronto às desigualdades que obtivemos:
temos g(x)=-x^{4}, f(x)=x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) e h(x)=x^{4}, com
-x^{4} \le x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le x^{4}.
Agora calcule os limites das extremidades quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}(-x^{4})=0, \qquad \lim_{x\to 0}x^{4}=0.
Como ambos os limites das funções extremas são 0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 0}x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)=0.
Intuitivamente: mesmo que \cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) oscile muito quando x se aproxima de 0, o fator x^{4} tende a 0 rápido o suficiente para anular essas oscilações.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta (mais rígida) — para treinar técnica de prova em prova:
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon^{1/4}. Se |x|<\delta então |x|^{4}<\varepsilon. Como |\cos(\tfrac{2}{x})|\le 1, temos
\bigl|x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)-0\bigr| = |x|^{4}\cdot\bigl|\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)\bigr| \le |x|^{4} < \varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon^{1/4} tal que |x|<\delta implica |x^{4}\cos(\tfrac{2}{x})-0|<\varepsilon. Isso prova formalmente que o limite é 0.

Passo 6

Observações finais e dica de prova:
  • Padrão útil na prova e em provas de prova: se uma função é limitada (como \cos) e é multiplicada por algo que tende a 0 (como x^{4}), o produto tende a 0. A prova usa exatamente a mesma ideia que usamos aqui.
  • Exemplo simples semelhante: \lim_{x\to 0} x\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0, pela mesma razão ( -|x|\le x\sin(1/x)\le |x| e |x|\to 0).
  • Ânimo: reconhecer essa estrutura (fator que vai a zero vezes função limitada) é uma boa maneira de resolver rapidamente esse tipo de limite na prova.

Resposta

0

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