Lembrando o enunciado do teorema do confronto (squeeze theorem) de forma clara e simples:
Se tiver funções g(x), f(x), h(x) tais que, para x próximos de 0 (exceto possivelmente em 0),
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se
\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=L,
então
\lim_{x\to 0}f(x)=L.
Aqui g,h,f são funções qualquer e L é um número real. A ideia é que se f fica sempre “espremida” entre g e h e os dois extremos vão para o mesmo limite, f também tem que ir para esse limite.
Passo 4
Aplicando o teorema do confronto às desigualdades que obtivemos:
temos g(x)=-x^{4}, f(x)=x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) e h(x)=x^{4}, com
Como ambos os limites das funções extremas são 0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 0}x^{4}\cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)=0.
Intuitivamente: mesmo que \cos\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) oscile muito quando x se aproxima de 0, o fator x^{4} tende a 0 rápido o suficiente para anular essas oscilações.
Passo 5
Prova \varepsilon-\delta (mais rígida) — para treinar técnica de prova em prova:
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon^{1/4}. Se |x|<\delta então |x|^{4}<\varepsilon. Como |\cos(\tfrac{2}{x})|\le 1, temos
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon^{1/4} tal que |x|<\delta implica |x^{4}\cos(\tfrac{2}{x})-0|<\varepsilon. Isso prova formalmente que o limite é 0.
Passo 6
Observações finais e dica de prova:
Padrão útil na prova e em provas de prova: se uma função é limitada (como \cos) e é multiplicada por algo que tende a 0 (como x^{4}), o produto tende a 0. A prova usa exatamente a mesma ideia que usamos aqui.
Exemplo simples semelhante: \lim_{x\to 0} x\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0, pela mesma razão (-|x|\le x\sin(1/x)\le |x| e |x|\to 0).
Ânimo: reconhecer essa estrutura (fator que vai a zero vezes função limitada) é uma boa maneira de resolver rapidamente esse tipo de limite na prova.