Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1} \frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão a estudar é \dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
    A primeira coisa que faço é verificar se a substituição direta dá um caso indeterminado ou um valor bem definido.

Passo 2

Substituindo x=-1 diretamente para ver o que acontece:
\text{numerador} = (-1)^{2}+2(-1)+1 = 1-2+1 = 0,
\text{denominador} = (-1)^{4}-1 = 1-1 = 0.
Como obtemos a forma 0/0, isso é uma indeterminação — preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar, ou usar outro método) antes de tomar o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador. Reconhecer a forma de quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}.
Explicação rápida (aula curta): a fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=1, então (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.

Passo 4

Fatorar o denominador. Usar diferença de quadrados em duas etapas:
x^{4}-1 = (x^{2})^{2}-1^{2} = (x^{2}-1)(x^{2}+1).
Em seguida fatorar x^{2}-1 também como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
A identidade usada é \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,.

Passo 5

Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}=\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}.
Agora simplificar cancelando um fator comum (x+1) (isso é válido para x\neq -1; para o limite consideramos valores próximos de -1 mas distintos dele):
\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)},\qquad x\neq -1.
Comentário didático: ao obter uma indeterminação 0/0 é comum fatorar e cancelar o fator que causa zero. Após o cancelamento obtemos uma função equivalente em toda vizinhança de -1 exceto possivelmente no próprio ponto x=-1; isso permite avaliar o limite por substituição.

Passo 6

Agora calculo o limite da forma simplificada por substituição direta, usando as regras de limite (se o limite do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da quociente é o quociente dos limites):
Calcular limites separados:
\lim_{x\to -1} (x+1)=0,
\lim_{x\to -1} (x-1) = -2,
\lim_{x\to -1} (x^{2}+1)=2.
Assim o limite do denominador é (-2)\cdot 2 = -4, que é diferente de zero. Portanto o limite do quociente é igual ao quociente dos limites:
\lim_{x\to -1} \frac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{0}{-4}.

Passo 7

Interpretação e observação alternativa: o valor \dfrac{0}{-4} indica que a função tende a 0 quando x\to -1. Outra maneira de chegar ao mesmo resultado é usar a regra de L’Hôpital (já que tínhamos 0/0): derivando numerador e denominador originais temos
\text{num}'=2x+2,\qquad \text{den}'=4x^{3},
e avaliando em x=-1 \dfrac{2(-1)+2}{4(-1)^{3}}=\dfrac{0}{-4}=0, consistentemente. Conceito importante: o ponto x=-1 é uma descontinuidade removível da função original, pois ao simplificar obtemos uma função contínua que tem valor 0 no limite.

Resposta

0

Exercícios relacionados