Calcule o limite dado em cada item, se ele existir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão a estudar é
. - O ponto de interesse é
.
A primeira coisa que faço é verificar se a substituição direta dá um caso indeterminado ou um valor bem definido.
Passo 2
Substituindo
diretamente para ver o que acontece:
Como obtemos a forma
, isso é uma indeterminação — preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar, ou usar outro método) antes de tomar o limite.
Passo 3
Fatorar o numerador. Reconhecer a forma de quadrado perfeito:
Explicação rápida (aula curta): a fórmula
. Aqui
e
, então
.
Passo 4
Fatorar o denominador. Usar diferença de quadrados em duas etapas:
Em seguida fatorar
também como diferença de quadrados:
Portanto
A identidade usada é
.
Passo 5
Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
Agora simplificar cancelando um fator comum
(isso é válido para
; para o limite consideramos valores próximos de
mas distintos dele):
Comentário didático: ao obter uma indeterminação
é comum fatorar e cancelar o fator que causa zero. Após o cancelamento obtemos uma função equivalente em toda vizinhança de
exceto possivelmente no próprio ponto
; isso permite avaliar o limite por substituição.
Passo 6
Agora calculo o limite da forma simplificada por substituição direta, usando as regras de limite (se o limite do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero, o limite da quociente é o quociente dos limites):
Calcular limites separados:
Calcular limites separados:
Assim o limite do denominador é
, que é diferente de zero. Portanto o limite do quociente é igual ao quociente dos limites:
Passo 7
Interpretação e observação alternativa: o valor
indica que a função tende a
quando
. Outra maneira de chegar ao mesmo resultado é usar a regra de L’Hôpital (já que tínhamos
): derivando numerador e denominador originais temos
e avaliando em
dá
, consistentemente. Conceito importante: o ponto
é uma descontinuidade removível da função original, pois ao simplificar obtemos uma função contínua que tem valor
no limite.
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