Dado que
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes limites:
A pergunta é: existe e, se existir, qual é o valor de
Passo 2
Recordando uma regra básica de limites (explicação didática): se duas funções têm limites finitos quando
, então o limite do produto é o produto dos limites. Mais formalmente, se
com
e
finitos, então
Além disso, para o quociente, se
com
, então
Essas regras permitem calcular limites por substituição dos limites das partes, desde que o denominador tenha limite não nulo.
Passo 3
Verifico as condições para usar as regras:
- Pelos dados,
e , ambos limites existem e são finitos, então posso usar a regra do produto para . - Também
, que é finito e diferente de zero, portanto posso usar a regra do quociente com denominador .
Como a condição
está satisfeita, a aplicação das regras é válida.
Passo 4
Calculo o limite do numerador usando a regra do produto:
Explicação simples: multiplicar algo que tende a
por algo que tende a
dá algo que tende a
.
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente:
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, o quociente tende a
.
Passo 6
Intuição rápida para a prova: perto de
,
fica muito pequeno (próximo de zero),
fica próximo de
e
fica próximo de
; então o produto
fica muito pequeno e dividido por algo próximo de
continua pequeno — tende a
. Isso é exatamente o que as regras de limite formalizam.