Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x) h(x)}{f(x)}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes limites:
\lim_{x\rightarrow 2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\rightarrow 2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\rightarrow 2} h(x)=0.
A pergunta é: existe e, se existir, qual é o valor de
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{g(x)h(x)}{f(x)}\\ ?

Passo 2

Recordando uma regra básica de limites (explicação didática): se duas funções têm limites finitos quando x\to 2, então o limite do produto é o produto dos limites. Mais formalmente, se
\lim_{x\rightarrow 2}u(x)=U\quad\text{e}\quad\lim_{x\rightarrow 2}v(x)=V,
com U e V finitos, então
\lim_{x\rightarrow 2}u(x)v(x)=UV.
Além disso, para o quociente, se
\lim_{x\rightarrow 2}u(x)=U\quad\text{e}\quad\lim_{x\rightarrow 2}w(x)=W,
com W\neq 0, então
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{u(x)}{w(x)}=\frac{U}{W}.
Essas regras permitem calcular limites por substituição dos limites das partes, desde que o denominador tenha limite não nulo.

Passo 3

Verifico as condições para usar as regras:
  • Pelos dados, \lim_{x\rightarrow 2}g(x)=-2 e \lim_{x\rightarrow 2}h(x)=0, ambos limites existem e são finitos, então posso usar a regra do produto para g(x)h(x).
  • Também \lim_{x\rightarrow 2}f(x)=4, que é finito e diferente de zero, portanto posso usar a regra do quociente com denominador f(x).
Como a condição \lim_{x\rightarrow 2}f(x)\neq 0 está satisfeita, a aplicação das regras é válida.

Passo 4

Calculo o limite do numerador usando a regra do produto:
\lim_{x\rightarrow 2}g(x)h(x)=\left(\lim_{x\rightarrow 2}g(x)\right)\left(\lim_{x\rightarrow 2}h(x)\right)=(-2)\cdot 0=0.
Explicação simples: multiplicar algo que tende a -2 por algo que tende a 0 dá algo que tende a 0.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{g(x)h(x)}{f(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}g(x)h(x)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)}=\frac{0}{4}=0.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 4\neq 0, o quociente tende a 0.

Passo 6

Intuição rápida para a prova: perto de x=2, h(x) fica muito pequeno (próximo de zero), g(x) fica próximo de -2 e f(x) fica próximo de 4; então o produto g(x)h(x) fica muito pequeno e dividido por algo próximo de 4 continua pequeno — tende a 0. Isso é exatamente o que as regras de limite formalizam.

Resposta

0

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