Nos Exercícios de l a 24, determine todos os pontos em que a função é contínua.
F(x, y)=\frac{1}{x-y}

Passo 1

O enunciado fornece a função
F(x,y)=\frac{1}{x-y}
e pede: determinar todos os pontos em que F é contínua.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão da função é \dfrac{1}{x-y}.
  • A função envolve divisão por x-y, portanto a expressão ficará indefinida quando x-y=0.
  • A tarefa é listar exatamente todos os pontos (x,y) do plano onde a função é contínua.

Passo 2

Relembrando o que significa ser contínuo em duas variáveis (definição que vamos usar):
  • Dizemos que F é contínua em um ponto (a,b) se e somente se \lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)=F(a,b).
  • Em linguagem de \varepsilon- \delta: F é contínua em (a,b) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, ocorre |F(x,y)-F(a,b)|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição para decidir onde F é contínua.

Passo 3

Primeiro identificar o domínio natural da função (onde a expressão faz sentido):
  • A função \dfrac{1}{x-y} está bem definida sempre que o denominador é diferente de zero.
  • Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}.
  • Em todos os pontos (a,b) com a=b a função não está definida (pois x-y=0), então nesses pontos não pode haver continuidade (continuidade exige que F(a,b) exista).
Portanto já sabemos que candidatos à continuidade só podem ser pontos com a\neq b.

Passo 4

Agora vamos provar que F é contínua em qualquer ponto (a,b) com a\neq b. Vou fazer uma demonstração \varepsilon- \delta direta e, em seguida, dar uma explicação alternativa mais conceitual.
Demonstração \varepsilon- \delta:
Seja (a,b) tal que a\neq b. Defina
m:=|a-b|>0.
Queremos mostrar que \lim_{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{a-b}.
Considere a diferença absoluta
\left|\frac{1}{x-y}-\frac{1}{a-b}\right| =\frac{|(a-b)-(x-y)|}{|x-y||a-b|} =\frac{|(a-x)+(y-b)|}{|x-y||a-b|}.
Usando desigualdades triangulares temos
|(a-x)+(y-b)|\le |a-x|+|y-b|.
Queremos controlar o denominador para evitar que fique pequeno. Escolhemos \delta_1>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_1, vale
|a-x|+|y-b|<\frac{m}{2}.
Por exemplo, tomar \delta_1=\dfrac{m}{4} funciona (pois |a-x|\le\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} e mesma para |y-b|, então |a-x|+|y-b|<2\delta_1=\dfrac{m}{2}).
Com isso obtemos uma cota inferior para |x-y|:
|x-y| \ge |a-b| - |(x-y)-(a-b)| \ge m - (|a-x|+|y-b|) > m - \frac{m}{2}=\frac{m}{2}.
Logo, quando \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta_1, temos |x-y|>\dfrac{m}{2}. Substituindo nas desigualdades iniciais:
\left|\frac{1}{x-y}-\frac{1}{a-b}\right| \le \frac{|a-x|+|y-b|}{\frac{m}{2}\,m} = \frac{2(|a-x|+|y-b|)}{m^2}.
Agora usamos que |a-x|+|y-b|\le \sqrt{2}\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}. Assim, se definirmos d:=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} obtém-se
\left|\frac{1}{x-y}-\frac{1}{a-b}\right| \le \frac{2\sqrt{2}\,d}{m^2}.
Portanto, dado um \varepsilon>0, basta escolher
\delta=\min\left(\delta_1,\; \frac{m^2\varepsilon}{2\sqrt{2}}\right)
para garantir que, sempre que d<\delta, teremos \left|\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{a-b}\right|<\varepsilon. Isso prova a continuidade de F em (a,b).
Explicação alternativa (mais conceitual e curta):
  • As projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são funções contínuas em \mathbb{R}^2.
  • A função diferença (x,y)\mapsto x-y é composição e soma/adição de contínuas, portanto contínua.
  • A função t\mapsto 1/t é contínua em qualquer t\neq 0.
  • Composição de funções contínuas é contínua, logo (x,y)\mapsto 1/(x-y) é contínua em todo ponto em que x-y\neq 0.

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão final:
  • A linha x=y no plano (reta com equação x-y=0) é exatamente o lugar onde a função não está definida — aí há uma “singularidade” (assíntota) e não há continuidade.
  • Em todo o resto do plano, isto é, em cada ponto (x,y) fora dessa reta, a função é contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que x\neq y, isto é, no conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}.

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