Nos Exercícios de l a 24, determine todos os pontos em que a função é contínua. F(x, y)=\frac{1}{x-y}
Passo 1
O enunciado fornece a função
F(x,y)=\frac{1}{x-y}
e pede: determinar todos os pontos em que F é contínua.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A expressão da função é \dfrac{1}{x-y}.
A função envolve divisão por x-y, portanto a expressão ficará indefinida quando x-y=0.
A tarefa é listar exatamente todos os pontos (x,y) do plano onde a função é contínua.
Passo 2
Relembrando o que significa ser contínuo em duas variáveis (definição que vamos usar):
Dizemos que F é contínua em um ponto (a,b) se e somente se \lim_{(x,y)\to(a,b)}F(x,y)=F(a,b).
Em linguagem de \varepsilon-\delta: F é contínua em (a,b) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, ocorre |F(x,y)-F(a,b)|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição para decidir onde F é contínua.
Passo 3
Primeiro identificar o domínio natural da função (onde a expressão faz sentido):
A função \dfrac{1}{x-y} está bem definida sempre que o denominador é diferente de zero.
Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}.
Em todos os pontos (a,b) com a=b a função não está definida (pois x-y=0), então nesses pontos não pode haver continuidade (continuidade exige que F(a,b) exista).
Portanto já sabemos que candidatos à continuidade só podem ser pontos com a\neq b.
Passo 4
Agora vamos provar que F é contínua em qualquer ponto (a,b) com a\neq b. Vou fazer uma demonstração \varepsilon-\delta direta e, em seguida, dar uma explicação alternativa mais conceitual.
Demonstração \varepsilon-\delta:
Seja (a,b) tal que a\neq b. Defina
m:=|a-b|>0.
Queremos mostrar que \lim_{(x,y)\to(a,b)}\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{a-b}.
para garantir que, sempre que d<\delta, teremos \left|\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{a-b}\right|<\varepsilon. Isso prova a continuidade de F em (a,b).
Explicação alternativa (mais conceitual e curta):
As projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são funções contínuas em \mathbb{R}^2.
A função diferença (x,y)\mapsto x-y é composição e soma/adição de contínuas, portanto contínua.
A função t\mapsto 1/t é contínua em qualquer t\neq 0.
Composição de funções contínuas é contínua, logo (x,y)\mapsto 1/(x-y) é contínua em todo ponto em que x-y\neq 0.
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão final:
A linha x=y no plano (reta com equação x-y=0) é exatamente o lugar onde a função não está definida — aí há uma “singularidade” (assíntota) e não há continuidade.
Em todo o resto do plano, isto é, em cada ponto (x,y) fora dessa reta, a função é contínua.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que x\neq y, isto é, no conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}.