Cheque se os limites abaixo são indeterminações, e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x},
que é um problema de limites de funções envolvendo indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos identificar a indeterminação e usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Substituindo x=0 diretamente na expressão, obtemos
\frac{\sqrt{4+0}-2}{0}=\frac{2-2}{0}=\frac{0}{0},
ou seja, temos uma indeterminação.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por \frac{\sqrt{4+x}+2}{\sqrt{4+x}+2}:
\frac{\sqrt{4+x}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{4+x}+2}{\sqrt{4+x}+2} = \frac{(\sqrt{4+x})^2-2^2}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{4+x-4}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{4+x}+2}.

Passo 4

Agora avaliaremos o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{4+x}+2} = \frac{1}{\sqrt{4+0}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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