Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede três coisas: (i) determinar qual é a quádrica (tipo canônico), (ii) dizer sua orientação (eixo, centro, simetrias) e (iii) fazer um esboço (ou instruções claras para desenhá-la). As informações relevantes são apenas os coeficientes e termos lineares/quadráticos presentes na equação dada.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: levar todos os termos para um lado para trabalhar com uma forma padrão. Subtraio
dos dois lados:
Agora agrupo os termos em
,
e
:
Passo 3
Vou completar o quadrado para
e para
. Lembre que completar o quadrado para uma expressão
é escrever
porque
. Aplicando isso a
e a
:
Substituindo na equação do passo anterior:
Somando as constantes:
. Portanto:
Passo 4
Isolando o termo constante para obter a forma canônica:
Esta é a forma canônica da superfície. Observação didática sobre interpretação: os coeficientes frente aos quadrados são
para
,
para
e
para
. Quando, em uma equação do tipo
temos um hiperboloide de uma folha. Uma maneira prática de ver isso é olhar as seções por planos horizontais (constante
): elas são círculos com raio que varia com
, não há “dois componentes separados” (o que aconteceria num hiperboloide de duas folhas).
Passo 5
Identificação da quádrica:
- Tipo: hiperboloide de uma folha (hiperboloide circular, já que os coeficientes de
e são iguais). - Centro: o ponto que desloca os quadrados é
. Esse é o centro “geométrico” da superfície (o ponto onde as coordenadas dos quadrados são zero). - Eixo de simetria / orientação: a variável
aparece isolada como , e aparecem apenas pelo termo radial . Isso indica que o eixo do hiperboloide é paralelo ao eixo e passa por . Em outras palavras, o eixo é a reta
Passo 6
Traços (seções) e propriedades úteis para desenhar:
- Seção por um plano horizontal
(constante): substituir na equação dá
Isto é um círculo centrado em
no plano
com raio
Observe que
(mínimo) e
cresce quando
aumenta — por isso a superfície “estreita” no centro em
e se abre para cima e para baixo.
- Seção por um plano vertical que contenha o eixo, por exemplo o plano
: substituindo obtemos
que é uma hipérbole no plano
com centro em
no sistema de coordenadas
deslocado. As assimptotas desta hipérbole são dadas por
quando os termos de ordem zero são negligenciáveis para grandes
.
- Analogamente no plano
aparece a mesma hipérbole em .
Passo 7
Pontos e curvas para marcar no esboço:
- Centro:
. - Círculo central (plano
): círculo de raio centrado em . Pontos óbvios deste círculo: , , , . - Círculos em
: raio , centrados em — desenhar círculos maiores acima e abaixo do central. - Traços meridianos (por
ou ): desenhar as hipérboles que passam pelo “anel” central e se abrem com assíntotas com inclinação no plano correspondente. - A superfície é única e conectada (uma folha) — não existem duas partes separadas.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer no rascunho):
- Marcar o ponto central
. - Em
desenhar um círculo de raio centrado em . - Em
e desenhar círculos maiores de raio (proporcional ao rascunho); ligue suavemente as bordas correspondentes dos círculos formando a “casca” do hiperboloide. - Traçar no plano
(ou ) a hipérbole geratriz para visualizar as linhas que se abrem; essas hipérboles dão as linhas-guia que mostram como a superfície se alonga. - Indicar a reta eixo
como linha de simetria vertical.
Resposta
Hiperboloide de uma folha, circular, com centro em
Seção por