Determine a quádrica e sua orientação e faça um esboço:
x^{2}+y^{2}+1=z^{2}+2(x+y)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x^{2}+y^{2}+1=z^{2}+2(x+y)
e pede três coisas: (i) determinar qual é a quádrica (tipo canônico), (ii) dizer sua orientação (eixo, centro, simetrias) e (iii) fazer um esboço (ou instruções claras para desenhá-la). As informações relevantes são apenas os coeficientes e termos lineares/quadráticos presentes na equação dada.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: levar todos os termos para um lado para trabalhar com uma forma padrão. Subtraio z^{2}+2(x+y) dos dois lados:
x^{2}+y^{2}+1 - z^{2} - 2x - 2y = 0.
Agora agrupo os termos em x, y e z:
(x^{2}-2x) + (y^{2}-2y) - z^{2} + 1 = 0.

Passo 3

Vou completar o quadrado para x e para y. Lembre que completar o quadrado para uma expressão t^{2}-2t é escrever
t^{2}-2t = (t-1)^{2}-1,
porque (t-1)^{2} = t^{2}-2t+1. Aplicando isso a x e a y:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.
Substituindo na equação do passo anterior:
\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + \bigl((y-1)^{2}-1\bigr) - z^{2} + 1 = 0.
Somando as constantes: -1-1+1 = -1. Portanto:
(x-1)^{2} + (y-1)^{2} - z^{2} - 1 = 0.

Passo 4

Isolando o termo constante para obter a forma canônica:
(x-1)^{2} + (y-1)^{2} - z^{2} = 1.
Esta é a forma canônica da superfície. Observação didática sobre interpretação: os coeficientes frente aos quadrados são +1 para (x-1)^{2}, +1 para (y-1)^{2} e -1 para z^{2}. Quando, em uma equação do tipo
\text{(dois termos positivos)} - \text{(um termo positivo)} = 1,
temos um hiperboloide de uma folha. Uma maneira prática de ver isso é olhar as seções por planos horizontais (constante z): elas são círculos com raio que varia com z, não há “dois componentes separados” (o que aconteceria num hiperboloide de duas folhas).

Passo 5

Identificação da quádrica:
  • Tipo: hiperboloide de uma folha (hiperboloide circular, já que os coeficientes de (x-1)^{2} e (y-1)^{2} são iguais).
  • Centro: o ponto que desloca os quadrados é (1,1,0). Esse é o centro “geométrico” da superfície (o ponto onde as coordenadas dos quadrados são zero).
  • Eixo de simetria / orientação: a variável z aparece isolada como -z^{2}, e x,y aparecem apenas pelo termo radial (x-1)^{2}+(y-1)^{2}. Isso indica que o eixo do hiperboloide é paralelo ao eixo z e passa por (1,1,0). Em outras palavras, o eixo é a reta
\{(1,1,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Traços (seções) e propriedades úteis para desenhar:
  • Seção por um plano horizontal z=z_{0} (constante): substituir na equação dá
(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 1 + z_{0}^{2}.
Isto é um círculo centrado em (1,1) no plano z=z_{0} com raio
r(z_{0})=\sqrt{1+z_{0}^{2}}.
Observe que r(0)=1 (mínimo) e r(z) cresce quando |z| aumenta — por isso a superfície “estreita” no centro em z=0 e se abre para cima e para baixo.
  • Seção por um plano vertical que contenha o eixo, por exemplo o plano y=1: substituindo y=1 obtemos
(x-1)^{2}-z^{2}=1,
que é uma hipérbole no plano y=1 com centro em (1,0) no sistema de coordenadas (x,z) deslocado. As assimptotas desta hipérbole são dadas por |x-1|=|z| quando os termos de ordem zero são negligenciáveis para grandes |z|.
  • Analogamente no plano x=1 aparece a mesma hipérbole em (y,z).

Passo 7

Pontos e curvas para marcar no esboço:
  • Centro: (1,1,0).
  • Círculo central (plano z=0): círculo de raio 1 centrado em (1,1,0). Pontos óbvios deste círculo: (2,1,0), (1,2,0), (0,1,0), (1,0,0).
  • Círculos em z=\pm 1: raio \sqrt{2}, centrados em (1,1,\pm 1) — desenhar círculos maiores acima e abaixo do central.
  • Traços meridianos (por x=1 ou y=1): desenhar as hipérboles que passam pelo “anel” central e se abrem com assíntotas com inclinação \pm 1 no plano correspondente.
  • A superfície é única e conectada (uma folha) — não existem duas partes separadas.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer no rascunho):
  1. Marcar o ponto central (1,1,0).
  2. Em z=0 desenhar um círculo de raio 1 centrado em (1,1).
  3. Em z=1 e z=-1 desenhar círculos maiores de raio \sqrt{2} (proporcional ao rascunho); ligue suavemente as bordas correspondentes dos círculos formando a “casca” do hiperboloide.
  4. Traçar no plano y=1 (ou x=1) a hipérbole geratriz para visualizar as linhas que se abrem; essas hipérboles dão as linhas-guia que mostram como a superfície se alonga.
  5. Indicar a reta eixo \{(1,1,z)\} como linha de simetria vertical.

Resposta

(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-z^{2}=1
Hiperboloide de uma folha, circular, com centro em (1,1,0) e eixo paralelo ao eixo z (reta \{(1,1,z)\mid z\in\mathbb{R}\}).
Seção por z=z_{0}: círculos centrados em (1,1,z_{0}) de raio \sqrt{1+z_{0}^{2}}.

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