Para qual valor de
a solução do problema
satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais:
A pergunta é: para qual valor de
a solução
satisfaz
Listei as informações: a equação diferencial, as duas condições iniciais (uma envolve
) e o comportamento assintótico pedido. A partir daqui vamos encontrar a solução geral e escolher
que garante o limite zero.
Passo 2
Resolver a equação diferencial pelo método padrão: supor soluções da forma
e obter a equação característica. Substituindo
em
resulta em:
Esta é a equação que determina os possíveis expoentes
.
Passo 3
Resolver a equação característica. Ela fatoriza facilmente:
portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a forma geral da solução da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Entender o comportamento assintótico das parcelas exponenciais. Para
:
-
cresce exponencialmente (vai para ); -
decai exponencialmente (vai para ).
Logo,só pode ocorrer se o coeficiente da parte crescente for zero; isto é, é necessário ter
Se
, então
domina e o limite não será zero (será
ou
dependendo do sinal de
).
Passo 5
Usar as condições iniciais para obter
e
em função de
. Primeiro calcule
e
a partir da forma geral:
e derivando
,
então
Agora aplique as condições iniciais
e
, obtendo o sistema
Passo 6
Impor a condição necessária
(para que o limite seja zero) e resolver o sistema. Substituindo
na primeira equação dá
Substituindo
e
na segunda equação dá
Passo 7
Verificação rápida: com
temos
e
, logo a solução é
e de fato
Se
então
e a solução contém um termo
que diverge quando
, portanto o limite não seria zero.