Para qual valor de \beta \in \mathbb{R} a solução do problema y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=\beta satisfaz \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais:
y''-y'-2y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=\beta.
A pergunta é: para qual valor de \beta\in\mathbb{R} a solução y(t) satisfaz
\lim_{t\to\infty} y(t)=0\\ ?
Listei as informações: a equação diferencial, as duas condições iniciais (uma envolve \beta) e o comportamento assintótico pedido. A partir daqui vamos encontrar a solução geral e escolher \beta que garante o limite zero.

Passo 2

Resolver a equação diferencial pelo método padrão: supor soluções da forma y(t)=e^{rt} e obter a equação característica. Substituindo y=e^{rt} em y''-y'-2y=0 resulta em:
r^2-r-2=0.
Esta é a equação que determina os possíveis expoentes r.

Passo 3

Resolver a equação característica. Ela fatoriza facilmente:
r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0,
portanto as raízes são
r_1=2,\qquad r_2=-1.
Como as raízes são reais e distintas, a forma geral da solução da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Entender o comportamento assintótico das parcelas exponenciais. Para t\to\infty:
  • e^{2t} cresce exponencialmente (vai para +\infty);
  • e^{-t} decai exponencialmente (vai para 0).
    Logo, \lim_{t\to\infty} y(t)=0 só pode ocorrer se o coeficiente da parte crescente e^{2t} for zero; isto é, é necessário ter
C_1=0.
Se C_1\neq0, então C_1 e^{2t} domina e o limite não será zero (será +\infty ou -\infty dependendo do sinal de C_1).

Passo 5

Usar as condições iniciais para obter C_1 e C_2 em função de \beta. Primeiro calcule y(0) e y'(0) a partir da forma geral:
y(0)=C_1 + C_2,
e derivando y(t),
y'(t)=2C_1 e^{2t}-C_2 e^{-t},
então
y'(0)=2C_1 - C_2.
Agora aplique as condições iniciais \;y(0)=2\; e \;y'(0)=\beta\;, obtendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] 2C_1 - C_2 = \beta. \end{cases}]

Passo 6

Impor a condição necessária C_1=0 (para que o limite seja zero) e resolver o sistema. Substituindo C_1=0 na primeira equação dá
C_2 = 2.
Substituindo C_1=0 e C_2=2 na segunda equação dá
2\cdot 0 - 2 = \beta \quad\Rightarrow\quad \beta = -2.

Passo 7

Verificação rápida: com \beta=-2 temos C_1=0 e C_2=2, logo a solução é
y(t)=2e^{-t},
e de fato
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{t\to\infty} 2e^{-t}=0.
Se \beta\neq-2 então C_1\neq0 e a solução contém um termo C_1 e^{2t} que diverge quando t\to\infty, portanto o limite não seria zero.

Resposta

\beta=-2

Exercícios relacionados