Mostre que a sequência dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
n!3^nn=1^+infty

Passo 1

Temos a sequência an=n!3^n. O que a gente quer é provar que, a partir de um certo índice N, os termos ficam sempre crescentes ou sempre decrescentes. O conteúdo envolvido é monotonicidade de sequências e vamos usar o quociente de termos consecutivos.

Passo 2

Vamos calcular o quociente an+1an. Como
an+1=(n+1)!3^n+1e an=n!3^n, temos
an+1an=(n+1)!3^n+1cdot3^nn!=n+13

Passo 3

Agora, se an+1an>1, então an+1>an e a sequência é crescente nesse ponto. Vamos resolver
n+13>1Long<=ftrightarrow n+1>3Long<=ftrightarrow n>2

Passo 4

Logo, para todo n>=3 vale an+1>an, ou seja, a sequência é estritamente crescente a partir de n=3.

Resposta

A sequência n!3^n é estritamente crescente a partir de n=3.

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