Calcule o limite, se existir.
lim x 3 raizx^2-2 x+6-raizx^2+2 x-x^2-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto3raizx^2-2x+6-raizx^2+2x-6x^2-4x+3
O conteúdo principal é o reconhecimento de uma indeterminação do tipo 0/0 e a aplicação da técnica de racionalização de radicais, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 2

Substituindo x=3 diretamente:
raiz3^2-2cdot3+6-raiz3^2+2cdot3-6 =raiz9-6+6-raiz9+6-6 =raiz9-raiz9 =3-3=0,
e
3^2-4cdot3+3=9-12+3=0
Portanto, obtemos a indeterminação tfrac00.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6, o que dá
raizx^2-2x+6-raizx^2+2x-6x^2-4x+3 cdot raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6 = (x^2-2x+6)-(x^2+2x-6)(x^2-4x+3)l(raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6r)

Passo 4

No numerador racionalizado temos
(x^2-2x+6)-(x^2+2x-6) =-4x+12 =-4(x-3)
E o denominador fatora como
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
Cancelando o fator comum (x-3), a expressão passa a ser
-4(x-1)l(raizx^2-2x+6+raizx^2+2x-6r)

Passo 5

Agora substituímos x=3 na forma simplificada. Calculamos
raiz3^2-2cdot3+6+raiz3^2+2cdot3-6 =3+3=6, 3-1=2,
logo
limxto3raizx^2-2x+6-raizx^2+2x-6x^2-4x+3 =-42cdot6 =-13

Resposta

-tfrac13

Exercícios relacionados