Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^prime=(cc5 & -1 3 & 1) X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO vetorial
X' = 5 & -1 3 & 1 X
Esse é um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes. Para resolver, vamos calcular autovalores e autovetores da matriz A.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det5-lambda & -1 3 & 1-lambda = (5-lambda)(1-lambda) +3 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 3

Encontrar as raízes do polinômio lambda^2 - 6lambda +8 = 0:
lambda = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22,
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lambda1 = 2 e lambda2 = 4.

Passo 4

Determinar autovetores.
Para lambda1 = 2: resolver
(A - 2I)v = 3 & -1 3 & -1v = 0
Implica 3v1 - v2 = 0, logo podemos escolher
v^(1) = 1 3
Para lambda2 = 4: resolver
(A - 4I)w = 1 & -1 3 & -3w = 0
Implica w1 - w2 = 0, logo escolhemos
w^(2) = 1 1

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções fundamentais:
X(t) = C1 e^2t1 3 + C2 e^4t1 1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

X(t) = C1 e^2t1 3 + C2 e^4t1 1

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