Prove os limites de duas maneiras, empregando o Teorema do Confronto ou o Corolário 2.30.
lim x 1 raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2 sen 1raiz[3]x

Passo 1

A questão pede para calcular o limite
Queremos achar
limxto1 raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2;sin1raiz[3]x
O conteúdo é limites de funções envolvendo radiciação e função seno. Vamos usar duas abordagens: (1) Teorema do Confronto e (2) Corolário 2.30 (produto de função que tende a zero por função limitada).

Passo 2

Primeira prova (Teorema do Confronto):
Defina
f(x)=raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2;sin1raiz[3]x
Como para todo real t vale |sin t|<=1, temos
|f(x)|;=;l|raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2r|;l|sin1raiz[3]xr| ;<=;l|raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2r|
Agora note que
$$(x-1){3}+(x-1){2}=(x-1){2}\bigl((x-1)+1\bigr)=(x-1){2}x,
$$
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$$\Bigl|\sqrt[3]{(x-1){3}+(x-1){2}}\Bigr|=|x-1|^{2/3};\sqrt[3]{|x|}.
$$
Como (x-1)^3+(x-1)^2=(x-1)^2l((x-1)+1r)=(x-1)^2x, implica l|raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2r|=|x-1|^2/3;raiz[3]|x| e xto1, segue
$$\lim_{x\to1}\Bigl|\sqrt[3]{(x-1){3}+(x-1){2}}\Bigr|=0.
$$
Pelo Teorema do Confronto, |x-1|^2/3to0

Passo 3

Segunda prova (Corolário 2.30 – produto de função que tende a zero por função limitada):
Reescreva
$$\sqrt[3]{(x-1){3}+(x-1){2}}=\sqrt[3]{(x-1){2}x}=\sqrt[3]{x},(x-1){2/3}.
$$
Então
$$f(x)=\underbrace{(x-1)^{2/3}}{g(x)};\cdot;\underbrace{\Bigl(\sqrt[3]{x};\sin\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)}{h(x)}.
$$
Observe que raiz[3](x-1)^3+(x-1)^2=raiz[3](x-1)^2x=raiz[3]x,(x-1)^2/3 e que f(x)=underbrace(x-1)^2/3g(x);cdot;underbracel(raiz[3]x;sintfrac1raiz[3]xr)h(x) é limitada, pois limxto1g(x)=0 e h(x).
Pelo Corolário 2.30, o produto de uma função que tende a zero por outra que é limitada tende a zero. Logo
raiz[3]xto1

Resposta

0

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