Prove os limites de duas maneiras, empregando o Teorema do Confronto ou o Corolário 2.30.
lim x 0 x^2 cos x=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto 0x^2cos x = 0
usando duas abordagens: o Teorema do Confronto (Sandwich) e o Corolário 2.30.
O conteúdo envolve limites de funções, funções limitadas e propriedades de operação de limites.

Passo 2

Prova pelo Teorema do Confronto.
Repare que, para todo x, vale
,-1 ;<=;cos x;<= 1
Multiplicando essa desigualdade por x^2>=0, obtemos
,-x^2 ;<=;x^2cos x;<= x^2
Como
limxto 0(-x^2) = 0elimxto 0x^2 = 0,
pelo Teorema do Confronto segue
limxto 0x^2cos x = 0

Passo 3

Prova pelo Corolário 2.30.
Esse corolário afirma que, se limxto ag(x)=0 e f é limitada num entorno de a, então
limxto af(x),g(x)=0
Aqui podemos tomar
;g(x)=x^2, f(x)=cos x
Como limxto 0x^2=0 e cos x é limitada (fica entre -1 e 1) num entorno de 0, conclui-se
limxto 0x^2cos x = 0

Resposta

0

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