Calcule, o limite, quando existir. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2 raiz6-x-2raiz3-x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando limx to 2 raiz6 - x - 2raiz3 - x - 1 se aproxima de 2 da expressão:
Vamos usar o conteúdo de limites, especificamente quando encontramos uma forma indeterminada como . Para resolver, precisamos simplificar a expressão ou aplicar algumas técnicas de cálculo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz6 - 2 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão:
raiz3 - 2 - 1 = raiz1 - 1 = 1 - 1 = 0
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Então, temos uma forma indeterminada . Quando isso acontece, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se o limite de resulta em ou , podemos calcular o limite das derivadas:

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador ( f'(x) = ddx (raiz6 - x) = 12(6 - x)^-1/2 cdot (-1) = -12raiz6 - x ):
A derivada de f'(x) = -12raiz6 - x é:
g'(x) = ddx (raiz3 - x) = 12(3 - x)^-1/2 cdot (-1) = -12raiz3 - x
A derivada de uma constante (-2) é 0, então:
g'(x) = -12raiz3 - x
Derivada do denominador ( ):
A derivada de é:
A derivada de uma constante (-1) é 0, então:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx to 2 f'(x)g'(x) = limx to 2 -12raiz6 - x -12raiz3 - x = limx to 2 12raiz6 - x 12raiz3 - x = limx to 2 raiz3 - x raiz6 - x

Passo 5

Agora, substituímos raiz3 - 2 raiz6 - 2 = raiz1 raiz4 = 12 na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale .

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