Calcule, o limite, quando existir. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão:
Vamos usar o conteúdo de limites, especificamente quando encontramos uma forma indeterminada como
. Para resolver, precisamos simplificar a expressão ou aplicar algumas técnicas de cálculo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Então, temos uma forma indeterminada
. Quando isso acontece, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se o limite de
resulta em
ou
, podemos calcular o limite das derivadas:
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador (
):
A derivada de
é:
A derivada de uma constante (-2) é 0, então:
Derivada do denominador (
):
A derivada de
é:
A derivada de uma constante (-1) é 0, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite vale
.