Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
lim x infty x^8x^3+1-x^8x^3-1

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular o limite quando x vai para o infinito da expressão:
lim x infty x^8x^3+1 - x^8x^3-1
Vamos precisar usar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e simplificação de frações. A ideia é manipular a expressão para identificar o comportamento dela quando x fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada fração separadamente. Temos duas partes:
x^8x^3+1 e x^8x^3-1
Quando x tende ao infinito, os termos com maior potência de x dominam, então podemos simplificar cada fração dividindo numerador e denominador por x^3 :
x^8x^3+1 = x^8/x^3(x^3+1)/x^3 = x^51 + 1x^3 approx x^51 = x^5
x^8x^3-1 = x^8/x^3(x^3-1)/x^3 = x^51 - 1x^3 approx x^51 = x^5

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
lim x infty ( x^5 - x^5 ) = lim x infty 0 = 0

Passo 4

Mas vamos verificar isso de forma mais precisa. Vamos subtrair as duas frações:
x^8x^3+1 - x^8x^3-1 = x^8 ( 1x^3+1 - 1x^3-1 )
Vamos encontrar um denominador comum:
1x^3+1 - 1x^3-1 = (x^3-1) - (x^3+1)(x^3+1)(x^3-1) = x^3 - 1 - x^3 - 1x^6 - 1 = -2x^6 - 1
Então, a expressão se torna:
x^8 cdot -2x^6 - 1 = -2x^8x^6 - 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por x^6 :
-2x^8x^6 - 1 = -2x^8/x^6(x^6 - 1)/x^6 = -2x^21 - 1x^6
Quando x tende ao infinito, 1x^6 tende a 0, então:
-2x^21 - 0 = -2x^2

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite:
lim x infty -2x^2 = -infty

Resposta

O limite é -infty .

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