Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a seguinte expressão para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, fatores de polinômios e propriedades do cosseno. Precisamos entender como essas partes se comportam quando
se aproxima de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fração:
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar.
Passo 3
Fatorando o numerador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2.
Então:
Passo 4
Agora, fatorando o denominador
:
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como:
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original:
Aqui, podemos cancelar o fator
, desde que
, o que é válido para o limite.
Passo 6
Após cancelar
:
Agora, a expressão simplificada para a fração é
.
Passo 7
Vamos analisar agora a parte do cosseno:
Quando
se aproxima de 3, substituímos:
Portanto:
Passo 8
Sabemos que o cosseno é uma função contínua, então podemos substituir diretamente:
Mas como
, fica:
Passo 9
Agora, juntando tudo, o limite fica:
Passo 10
Finalmente, calculando o valor numérico:
Resposta
O limite é aproximadamente -0,805.