Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
lim x 3 x^2-x-6x^2-9 cos (x^2+2 x-pi)=-1 (subs)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a seguinte expressão para calcular:
lim x 3 x^2-x-6x^2-9 cos (x^2+2 x-pi)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, fatores de polinômios e propriedades do cosseno. Precisamos entender como essas partes se comportam quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração:
x^2-x-6x^2-9
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar.

Passo 3

Fatorando o numerador x^2 - x - 6 :
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2.
Então:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Passo 4

Agora, fatorando o denominador x^2 - 9 :
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original:
(x - 3)(x + 2)(x - 3)(x + 3)
Aqui, podemos cancelar o fator (x - 3) , desde que x neq 3 , o que é válido para o limite.

Passo 6

Após cancelar (x - 3) :
x + 2x + 3
Agora, a expressão simplificada para a fração é x + 2x + 3 .

Passo 7

Vamos analisar agora a parte do cosseno:
cos (x^2 + 2x - pi)
Quando x se aproxima de 3, substituímos:
x^2 + 2x - pi = 3^2 + 2 cdot 3 - pi = 9 + 6 - pi = 15 - pi
Portanto:
cos(15 - pi)

Passo 8

Sabemos que o cosseno é uma função contínua, então podemos substituir diretamente:
cos(15 - pi) = cos(15) cdot cos(pi) + sin(15) cdot sin(pi)
Mas como sin(pi) = 0 , fica:
cos(15 - pi) = cos(15) cdot (-1) = -cos(15)

Passo 9

Agora, juntando tudo, o limite fica:
lim x 3 x + 2x + 3 cdot (-cos(15)) = 3 + 23 + 3 cdot (-cos(15)) = 56 cdot (-cos(15))

Passo 10

Finalmente, calculando o valor numérico:
56 cdot (-cos(15)) approx 56 cdot (-0,966) approx -0,805

Resposta

O limite é aproximadamente -0,805.

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