Calcule o limite, se existir:
lim h 0 (1+h)^4-1h=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim h 0 (1+h)^4-1h=4
Esse exercício está no campo de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões algébricas e aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (1 + h)^4. Para isso, usamos o binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios. A fórmula geral para (a + b)^n é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-kb^k
Aplicando para n = 4:
(1 + h)^4 = 1 + 4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original do limite:
(1 + h)^4 - 1h = 1 + 4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4 - 1h
Simplificando os termos:
4h + 6h^2 + 4h^3 + h^4h

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador por h:
4hh + 6h^2h + 4h^3h + h^4h = 4 + 6h + 4h^2 + h^3
Agora, nosso limite fica:
lim h 0 (4 + 6h + 4h^2 + h^3)

Passo 5

Como h está se aproximando de 0, todos os termos que contêm h vão a 0:
4 + 6(0) + 4(0)^2 + (0)^3 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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