Determine a área das seguintes superfícies:
De uma superfície S com equação z=f(x, y) onde f tem derivadas parciais contínuas.

Passo 1

O enunciado pede a área de uma superfície S dada por
z = f(x,y),
onde f tem derivadas parciais contínuas em uma região D do plano xy.
O conteúdo a usar é a representação paramétrica da superfície e o cálculo de área via produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Parametrizamos S pela função
vec r(x,y) = l(x,;y,;f(x,y)r),
com (x,y) variando em D. Assim, vec r leva pontos de Dsubset R^2 para pontos da superfície Ssubset R^3.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes vec rx e vec ry na parametrização:
vec rx(x,y) = l(1,;0,;fx(x,y)r), vec ry(x,y) = l(0,;1,;fy(x,y)r)

Passo 4

O produto vetorial vec rxtimes vec ry dá um vetor normal cuja magnitude é a área elementar esticada:
vec rxtimes vec ry = i & j & k 1 & 0 & fx 0 & 1 & fy = l(-fx,,-fy,,1r),
llVert vec rxtimes vec ryrrVert = raiz(-fx)^2+(-fy)^2+1^2 = raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2,

Passo 5

Portanto, a área de S sobre o domínio D é a integral dupla
Area(S) = integral duplaD llVert vec rx(x,y)times vec ry(x,y)rrVert ; d x, d y = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2 ; d x, d y

Resposta

boxed Area(S) = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2 ; d x, d y

Exercícios relacionados