Calcule o limite se existir.
\lim _{x \rightarrow} \frac{x^{2}+3 x}{x^{2}-x-12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, mas não especificou para qual ponto x tende. A única informação dada é a função
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}.
Portanto, antes de calcular, devo observar que há várias possibilidades naturais: limites em pontos finitos (por exemplo x\to a com a qualquer), limites em pontos onde o denominador zera (possíveis descontinuidades) e limites quando x\to\pm\infty. Vou analisar todos os casos relevantes porque o problema não especificou o ponto.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar numerador e denominador para ver possíveis simplificações. Fatorando,
x^{2}+3x = x(x+3)
e
x^{2}-x-12 = (x-4)(x+3).
Essa fatoração foi feita observando produtos que geram -12 e soma -1 (no caso do denominador), e extraindo fator comum no numerador.

Passo 3

Verificamos que há um fator comum (x+3) em numerador e denominador. Para x\neq -3 podemos simplificar:
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\frac{x(x+3)}{(x-4)(x+3)}=\frac{x}{x-4},\qquad (x\neq -3).
É importante lembrar: cancelar um fator é válido para estudar limites, desde que tratemos separadamente o ponto onde o fator cancelado se anula ( x=-3), pois ali a função original não está definida (0/0), mas o limite pode existir (removível).

Passo 4

Caso geral: limite em um ponto finito a tal que a\neq -3 e a\neq 4. Nesse caso o denominador da função simplificada não é zero, então a função é contínua em a e podemos simplesmente substituir:
\lim_{x\to a}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\lim_{x\to a}\frac{x}{x-4}=\frac{a}{a-4}.
Aqui usei a propriedade básica: se uma função é contínua em a, o limite quando x\to a é o valor da função em a.

Passo 5

Caso especial x\to -3 (situação de forma indeterminada 0/0 na expressão original). Como vimos, para x\neq -3 a expressão é igual a \dfrac{x}{x-4}. Logo
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\lim_{x\to -3}\frac{x}{x-4}=\frac{-3}{-3-4}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}.
Interpretação: em x=-3 a descontinuidade é removível; o limite existe e vale \dfrac{3}{7}, embora a função original esteja indefinida naquele ponto.

Passo 6

Caso especial x\to 4. Aqui o denominador zera mas o numerador em x=4 vale 4^{2}+3\cdot4=16+12=28\neq 0. Então temos uma divisão por zero com numerador não nulo — comportamento de assíntota vertical. Para determinar os limites laterais, analisamos o sinal próximo de 4.
  • Para x próximo de 4, x+3>0. Assim o sinal do denominador (x-4)(x+3) é o mesmo do sinal de (x-4).
  • Se x\to 4^{-} então x-4<0 pequeno, denomínio é negativo pequeno, numerador perto de 28 positivo, portanto a fração tende a -\infty.
  • Se x\to 4^{+} então x-4>0 pequeno, denomínio positivo pequeno, numerador positivo, portanto a fração tende a +\infty.
    Conclusão: os limites laterais são diferentes e um é -\infty e o outro +\infty, portanto o limite \lim_{x\to 4} não existe (diverge para infinito, sem um único valor).

Passo 7

Limites quando x\to\pm\infty. Como numerador e denominador são polinômios do mesmo grau (grau 2), o limite quando |x|\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm coeficiente líder 1. Formalmente, dividindo termos por x^{2},
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}= \frac{1+0}{1-0-0}=1.
Logo
\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=1.

Passo 8

Resumo didático rápido do que fizemos (para usar na prova): fatorar sempre que possível, cancelar fatores comuns para ver descontinuidades removíveis; se após simplificação o ponto é de continuidade, usar substituição; se denominador fica zero mas numerador não, investigar limites laterais (assíntota vertical); para x\to\pm\infty comparar graus dos polinômios (razão dos coeficientes líderes se graus iguais).

Resposta

Não é possível determinar: o enunciado não especifica para qual ponto x tende.
Para a qualquer com a\neq -3,4: \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\frac{a}{a-4}.
\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=\frac{3}{7}.
\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12)\\ \text{não existe (}\lim_{x\to4^-}=-\infty,\\ \lim_{x\to4^+}=+\infty\text{).}}ã
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=1.
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-x-12}=1.

Exercícios relacionados