Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, mas não especificou para qual ponto
tende. A única informação dada é a função
Portanto, antes de calcular, devo observar que há várias possibilidades naturais: limites em pontos finitos (por exemplo
com
qualquer), limites em pontos onde o denominador zera (possíveis descontinuidades) e limites quando
. Vou analisar todos os casos relevantes porque o problema não especificou o ponto.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: fatorar numerador e denominador para ver possíveis simplificações. Fatorando,
e
Essa fatoração foi feita observando produtos que geram
e soma
(no caso do denominador), e extraindo fator comum no numerador.
Passo 3
Verificamos que há um fator comum
em numerador e denominador. Para
podemos simplificar:
É importante lembrar: cancelar um fator é válido para estudar limites, desde que tratemos separadamente o ponto onde o fator cancelado se anula (
), pois ali a função original não está definida (0/0), mas o limite pode existir (removível).
Passo 4
Caso geral: limite em um ponto finito
tal que
e
. Nesse caso o denominador da função simplificada não é zero, então a função é contínua em
e podemos simplesmente substituir:
Aqui usei a propriedade básica: se uma função é contínua em
, o limite quando
é o valor da função em
.
Passo 5
Caso especial
(situação de forma indeterminada
na expressão original). Como vimos, para
a expressão é igual a
. Logo
Interpretação: em
a descontinuidade é removível; o limite existe e vale
, embora a função original esteja indefinida naquele ponto.
Passo 6
Caso especial
. Aqui o denominador zera mas o numerador em
vale
. Então temos uma divisão por zero com numerador não nulo — comportamento de assíntota vertical. Para determinar os limites laterais, analisamos o sinal próximo de
.
- Para
próximo de , . Assim o sinal do denominador é o mesmo do sinal de . - Se
então pequeno, denomínio é negativo pequeno, numerador perto de positivo, portanto a fração tende a . - Se
então pequeno, denomínio positivo pequeno, numerador positivo, portanto a fração tende a .
Conclusão: os limites laterais são diferentes e um ée o outro , portanto o limite não existe (diverge para infinito, sem um único valor).
Passo 7
Limites quando
. Como numerador e denominador são polinômios do mesmo grau (grau
), o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm coeficiente líder
. Formalmente, dividindo termos por
,
Logo
Passo 8
Resumo didático rápido do que fizemos (para usar na prova): fatorar sempre que possível, cancelar fatores comuns para ver descontinuidades removíveis; se após simplificação o ponto é de continuidade, usar substituição; se denominador fica zero mas numerador não, investigar limites laterais (assíntota vertical); para
comparar graus dos polinômios (razão dos coeficientes líderes se graus iguais).
Resposta
Não é possível determinar: o enunciado não especifica para qual ponto
tende.
Para qualquer com
:
Para