Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=2 n-33 n+4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade, a limitação e a convergência da sequência an = 2n-33n+4. Vamos usar teoria de sequências: para monotonicidade, calcular a diferença an+1 - an; para limitação, observar os extremos; para convergência, usar o limite quando n to infty.

Passo 2

Calcular a diferença an+1 - an para verificar monotonicidade. Primeiro expressamos an+1:
an+1 = 2(n+1)-33(n+1)+4 = 2n-13n+7
Agora, a diferença é:
an+1 - an = 2n-13n+7 - 2n-33n+4 = (2n-1)(3n+4) - (2n-3)(3n+7)(3n+7)(3n+4) = 179n^2+33n+28
Como 9n^2+33n+28>0 para todo n>=1, temos an+1-an>0. Logo, a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar se a sequência é limitada, observamos os primeiros termos e o limite: a1 = -tfrac17 e limntoinftyan = tfrac23. Sendo crescente, seus valores ficam em [-1/7,2/3), portanto é limitada.

Passo 4

Como a sequência é crescente e limitada acima, ela converge. Podemos calcular o limite:
limntoinftyan = limntoinfty2n-33n+4 = 23

Resposta

A sequência é estritamente crescente, é limitada (por exemplo em [-1/7,2/3]) e converge para 2/3.

Exercícios relacionados