Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado pede para analisar a monotonicidade, a limitação e a convergência da sequência
. Vamos usar teoria de sequências: para monotonicidade, calcular a diferença
; para limitação, observar os extremos; para convergência, usar o limite quando
.
Passo 2
Calcular a diferença
para verificar monotonicidade. Primeiro expressamos
:
Agora, a diferença é:
Como
para todo
, temos
. Logo, a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar se a sequência é limitada, observamos os primeiros termos e o limite:
e
. Sendo crescente, seus valores ficam em
, portanto é limitada.
Passo 4
Como a sequência é crescente e limitada acima, ela converge. Podemos calcular o limite:
Resposta
A sequência é estritamente crescente, é limitada (por exemplo em [-1/7,2/3]) e converge para 2/3.