Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de cada uma das funções seguintes:
h(x)=\int_{0}^{3 x+2} \frac{1}{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\int_{0}^{3x+2}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt
usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo aqui é a derivada de uma integral com limite superior dependente de x, o que envolve aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1), se
H(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
então
H'(x)=f(x).
No caso de limite superior g(x) em vez de x, a generalização pela regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\Bigl(\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt\Bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 3

Aqui temos
f(t)=\frac{1}{1+t^{2}} \quad\text{e}\quad g(x)=3x+2.
Logo, aplicando a fórmula,
h'(x) =\frac{1}{1+\bigl(g(x)\bigr)^{2}}\;g'(x) =\frac{1}{1+(3x+2)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(3x+2\bigr).

Passo 4

Como \frac{d}{dx}(3x+2)=3, temos
h'(x)=\frac{3}{1+(3x+2)^{2}}.

Resposta

h'(x)=\frac{3}{1+(3x+2)^{2}}.

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