Considere uma função contínua f(x, y)=x y. Dessa forma, calcule o valor da integral dupla \iint_{D} f(x, y) d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y_{1}=x^{2} e y_{2}=x, e que se encontra dentro do intervalo x=[0,1].
Assinale a alternativa correta:

Alternativas

A) \frac{1}{24}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{12}
D) \frac{1}{3}
E) \frac{1}{8}

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=xy sobre a região D limitada pelas curvas y_{1}=x^{2} e y_{2}=x para x\in[0,1]. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando domínio do tipo I.

Passo 2

Descrevemos D como
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\; x^{2} \le y \le x\}.
Portanto, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada em y depois em x.

Passo 3

A integral iterada fica
\iint_{D} xy\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x} x y \,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{x^{2}}^{x} x y \,dy = x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=x} = x\biggl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}\biggr) = \frac{x^{3}-x^{5}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}-x^{5}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{24}.

Resposta

A) \displaystyle \frac{1}{24}

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