Calcule o limite, se existir
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1}.
Observe que ao substituir x=-1 o numerador e o denominador valem zero, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador separadamente.
O numerador é
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}.
O denominador é diferença de quadrados em dois passos:
x^{4}-1 = (x^{2})^{2}-1^{2} = (x^{2}-1)(x^{2}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 3

Cancelamos um fator comum (x+1), ficando
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{4}-1} = \frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)}.
Essa função simplificada é contínua em x=-1, então basta substituir:
x+1\big|_{x=-1}=0,\quad (x-1)(x^{2}+1)\big|_{x=-1}=(-2)\cdot2=-4,
portanto o limite é
\frac{0}{-4}=0.

Resposta

0

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