Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=-2;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' + 2y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=-2.
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO trocando y por e^{\lambda t}. Isso dá
\lambda^2 + \lambda + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = -\tfrac12 \pm i\,\tfrac{\sqrt7}{2}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -\tfrac12\pm i\,\tfrac{\sqrt7}{2}, a solução geral é
y(t) = e^{-t/2}\Bigl(A\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) + B\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos y'(t) por derivação do produto: defina \omega=\tfrac{\sqrt7}{2}. Então
y'(t) = -\tfrac12\,e^{-t/2}\bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\bigr) + e^{-t/2}\bigl(-A\,\omega\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t)\bigr).
Em t=0 temos \cos0=1, \sin0=0, e^0=1, logo
y(0)=A=1, \qquad y'(0)=-\tfrac12\,A + B\,\omega = -\tfrac12 + B\cdot\tfrac{\sqrt7}{2}.

Passo 6

A condição y'(0)=-2 impõe
-\tfrac12 + B\,\tfrac{\sqrt7}{2} = -2 \;\Longrightarrow\; B\,\tfrac{\sqrt7}{2} = -2 + \tfrac12 = -\tfrac32 \;\Longrightarrow\; B = -\tfrac{3}{\sqrt7}.

Resposta

\boxed{y(t) = e^{-t/2}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) - \tfrac{3}{\sqrt7}\,\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Bigr).}

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