Questão 1. Encontre a solução geral das EDLH dadas abaixo.
\begin{array}{r}y^{\prime \prime}+4 y=0 \y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}

Passo 1

Beleza, a questão pede a gente resolver a EDO
y'' + 4y = 0
com as condições iniciais \{y(0)=0,\;y'(0)=1\}. Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e o truque é usar a equação característica e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A gente escreve a equação característica trocando y por e^{rt}, o que leva a
r^2 + 4 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas 0 \pm 2i, a solução geral é
y(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t).

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \implies A = 0.
Em seguida, derivamos:
y'(t) = -2A \sin(2t) + 2B \cos(2t).
Em t=0, isso vira
y'(0) = 2B = 1 \implies B = \frac{1}{2}.

Passo 5

Com A=0 e B=\frac{1}{2}, a solução ajustada fica
y(t) = \frac{1}{2}\,\sin(2t).

Resposta

y(t) = \frac{1}{2}\sin(2t).

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