Resolva os problemas de valor inicial:
5 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
5\,y'' + 5\,y' - y = 0,
sujeita a
y(0)=0,\quad y'(0)=1.
Para resolver, vamos:
  1. Formar a equação característica.
  2. Encontrar as raízes e montar a solução geral.
  3. Determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada a
5\,y'' + 5\,y' - y = 0
é
5r^2 + 5r - 1 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
r = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot5\cdot(-1)}}{2\cdot5} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 20}}{10} = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{10} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{10}.
Chamemos
r_1 = \frac{-5 + 3\sqrt5}{10}, \quad r_2 = \frac{-5 - 3\sqrt5}{10}.

Passo 3

Como as raízes r_1 e r_2 são distintas, a solução geral da EDO homogênea é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y'(x):
y'(x) = C_1\,r_1 e^{r_1 x} + C_2\,r_2 e^{r_2 x}.
Usamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=0 \implies C_1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -C_1,
y'(0)=1 \implies C_1\,r_1 + C_2\,r_2 = 1.
Substituindo C_2=-C_1 na segunda condição:
C_1\,(r_1 - r_2) = 1.
Mas
r_1 - r_2 = \frac{-5 + 3\sqrt5 -(-5 - 3\sqrt5)}{10} = \frac{6\sqrt5}{10} = \frac{3\sqrt5}{5}.
Logo
C_1 = \frac{1}{\frac{3\sqrt5}{5}} = \frac{5}{3\sqrt5} = \frac{\sqrt5}{3}, \quad C_2 = -\frac{\sqrt5}{3}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(x) = \frac{\sqrt5}{3}\,e^{\frac{-5 + 3\sqrt5}{10}\,x} - \frac{\sqrt5}{3}\,e^{\frac{-5 - 3\sqrt5}{10}\,x} = \frac{\sqrt5}{3}\Bigl(e^{r_1 x}-e^{r_2 x}\Bigr).

Resposta

y(x) = \frac{\sqrt5}{3}\Bigl(e^{\frac{-5 + 3\sqrt5}{10}\,x} \;-\; e^{\frac{-5 - 3\sqrt5}{10}\,x}\Bigr).

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