Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\frac{1}{1+e^{t}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDLN-H
y'' + 3y' + 2y = \frac{1}{1+e^t}
usando o método de Variação de Parâmetros. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear não-homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da homogênea associada e (2) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
com raízes r_1=-1 e r_2=-2. Assim as soluções fundamentais são
y_1(t) = e^{-t}, \quad y_2(t) = e^{-2t}.
O Wronskiano dessas soluções é
W(t) = y_1\,y_2' - y_1'\,y_2 = e^{-t}(-2e^{-2t}) - (-e^{-t})e^{-2t} = -e^{-3t}.

Passo 3

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
u_1'(t) = -\frac{y_2(t)\,g(t)}{W(t)}, \quad u_2'(t) = \frac{y_1(t)\,g(t)}{W(t)},
onde g(t)=\tfrac1{1+e^t}. Substituindo y_1, y_2 e W:
u_1'(t) = -\frac{e^{-2t}\,\bigl(\tfrac1{1+e^t}\bigr)}{-e^{-3t}} = \frac{e^t}{1+e^t}, \quad u_2'(t) = \frac{e^{-t}\,\bigl(\tfrac1{1+e^t}\bigr)}{-e^{-3t}} = -\frac{e^{2t}}{1+e^t}.

Passo 4

Agora integramos cada derivada:
Para u_1',
u_1(t) = \int \frac{e^t}{1+e^t}\,dt = \ln\bigl(1+e^t\bigr).
Para u_2', use u=e^t, du=e^t dt:
\int -\frac{e^{2t}}{1+e^t}\,dt = \int -\frac{u^2}{1+u}\,\frac{du}{u} = \int \Bigl(-u + \frac{1}{1+u}\Bigr)\,du = -e^t + \ln\bigl(1+e^t\bigr).
Logo
u_2(t) = -e^t + \ln\bigl(1+e^t\bigr).

Passo 5

A solução particular é
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t) = \ln(1+e^t)\,e^{-t} + \bigl(\ln(1+e^t)-e^t\bigr)\,e^{-2t} = (e^{-t}+e^{-2t})\ln(1+e^t)\;-\;e^{-t}.
Portanto, a solução geral da EDLN-H é
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + (e^{-t}+e^{-2t})\ln(1+e^t) - e^{-t}.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2}e^{-2t} + \bigl(e^{-t} + e^{-2t}\bigr)\ln\bigl(1+e^t\bigr) - e^{-t}.

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