Demonstre cada afirmação usando a definição \varepsilon, \delta de limite.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2+4 x}{3}=2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon, \delta de limite, que
\lim_{x\to1}\frac{2+4x}{3}=2.
Aqui a função é f(x)=\frac{2+4x}{3}, o ponto de interesse é x=1 e o valor do limite a ser demonstrado é L=2.

Passo 2

Vamos expressar a diferença \bigl|f(x)-L\bigr| em termos de \bigl|x-1\bigr|.
\biggl|\frac{2+4x}{3}-2\biggr| = \biggl|\frac{2+4x-6}{3}\biggr| = \biggl|\frac{4x-4}{3}\biggr| = \frac{4}{3}\,\bigl|x-1\bigr|.

Passo 3

Para atender à condição de limite, queremos \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon. Basta garantir
\frac{4}{3}\,\bigl|x-1\bigr|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl|x-1\bigr|<\frac{3}{4}\,\varepsilon.
Logo, damos a seguinte escolha de \delta:
\delta = \frac{3}{4}\,\varepsilon.

Passo 4

Agora verificamos a definição: seja dado \varepsilon>0 e escolha \delta=\tfrac{3}{4}\varepsilon. Então, sempre que
0<\bigl|x-1\bigr|<\delta
temos
\bigl|f(x)-2\bigr| = \frac{4}{3}\,\bigl|x-1\bigr| < \frac{4}{3}\,\delta = \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\,\varepsilon = \varepsilon.
Isso mostra que, por definição, \lim_{x\to1}\frac{2+4x}{3}=2.

Resposta

A escolha \delta=\tfrac{3}{4}\,\varepsilon satisfaz a definição \varepsilon, \delta de limite, logo
\lim_{x\to1}\frac{2+4x}{3}=2.

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