Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right).
Informações dadas:
  • a e b são constantes (assumimos reais).
  • A variável x tende para +\infty (portanto para valores grandes e positivos).
  • A única pergunta é encontrar o valor desse limite, se existir.

Passo 2

Opções de abordagem (só para justificar a escolha do método):
  • Podemos usar expansão assintótica (desenvolvimento em série) ou racionalizar a diferença usando o conjugado. Vou usar a racionalização, porque é um método elementar, direto, exige só álgebra e dá o resultado exato sem série.

Passo 3

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\big)\big(\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}\big)} {\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.
O produto no numerador simplifica para a diferença dos radicandos, então
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)=(a-b)x,
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\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(a-b)x}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 5

Fatoramos x dentro das raízes. Como x\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}}=x, então
\sqrt{x^{2}+a x}=x\sqrt{1+\frac{a}{x}},\qquad \sqrt{x^{2}+b x}=x\sqrt{1+\frac{b}{x}}.
Substituindo na expressão anterior:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} = \frac{(a-b)x}{x\Big(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}\Big)} = \frac{a-b}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1+\frac{b}{x}}}.

Passo 6

Agora tomamos o limite x\to\infty. Como \frac{a}{x}\to0 e \frac{b}{x}\to0, e a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, segue que
\sqrt{1+\frac{a}{x}}\to 1,\qquad \sqrt{1+\frac{b}{x}}\to 1.
Portanto o denominador tende a 1+1=2 e o limite é
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right) = \frac{a-b}{2}.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (intuição): usando expansão em série para \sqrt{1+t} com t pequeno,
\sqrt{x^{2}+a x}=x\sqrt{1+\frac{a}{x}}=x\Big(1+\frac{a}{2x}+O\big(\tfrac{1}{x^{2}}\big)\Big)=x+\frac{a}{2}+O\big(\tfrac{1}{x}\big),
e análogamente \sqrt{x^{2}+b x}=x+\frac{b}{2}+O\big(\tfrac{1}{x}\big). Subtraindo, obtemos \frac{a-b}{2}+O\big(\tfrac{1}{x}\big), que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{a-b}{2}

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