Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
-
e são constantes (assumimos reais). - A variável
tende para (portanto para valores grandes e positivos). - A única pergunta é encontrar o valor desse limite, se existir.
Passo 2
Opções de abordagem (só para justificar a escolha do método):
- Podemos usar expansão assintótica (desenvolvimento em série) ou racionalizar a diferença usando o conjugado. Vou usar a racionalização, porque é um método elementar, direto, exige só álgebra e dá o resultado exato sem série.
Passo 3
Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
O produto no numerador simplifica para a diferença dos radicandos, então
Passo 4
Simplificando o numerador:
logo
Passo 5
Fatoramos
dentro das raízes. Como
, temos
, então
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Agora tomamos o limite
. Como
e
, e a função
é contínua em
, segue que
Portanto o denominador tende a
e o limite é
Passo 7
Verificação alternativa rápida (intuição): usando expansão em série para
com
pequeno,
e análogamente
. Subtraindo, obtemos
, que confirma o resultado anterior.