Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x y^2 e^yx^4+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) x,y^2,e^yx^4+4y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) para mostrar que esse limite existe e vale zero.

Passo 2

Primeiro notamos que, para qualquer real y, vale
|e^y| = e^Re(y) = e^y e |e^y|<= e^|y|
Isso nos permitirá controlar o fator exponencial no numerador.

Passo 3

Agora estimamos o módulo da função. Para (x,y)neq(0,0) temos
x^4+4y^2;>=;4y^2,
logo
|x,y^2,e^yx^4+4y^2| ;<=; |x|,y^2,e^|y|4y^2 ;=; |x|,e^|y|4

Passo 4

Defina r=max|x|,|y|. Então |x|<= r e |y|<= r implicam e^|y|<= e^r. Assim
|x,y^2,e^yx^4+4y^2| ;<=; r,e^r4
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), o produto r,e^rto0. Pelo teorema do confronto, concluímos que
lim(x,y)to(0,0) x,y^2,e^yx^4+4y^2 = 0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados