Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem) para mostrar que esse limite existe e vale zero.
Passo 2
Primeiro notamos que, para qualquer real , vale
Isso nos permitirá controlar o fator exponencial no numerador.
Passo 3
Agora estimamos o módulo da função. Para temos
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Passo 4
Defina r=max|x|,|y|. Então |x|<= r e |y|<= r implicam e^|y|<= e^r. Assim
|x,y^2,e^yx^4+4y^2| ;<=; r,e^r4
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), o produto r,e^rto0. Pelo teorema do confronto, concluímos que