Se um projétil é lançado com uma velocidade inicial de v0 metros por segundo num ângulo alpha acima da horizontal e assumindo que a resistência do ar é desprezível, então a posição depois de t segundos é dada pelas equações paramétricas
x=(v0 cos alpha) t e y=(v0 sen alpha) t-12 g t^2
onde g approx 10 m / s^2 é a aceleração da gravidade.
Se uma arma for disparada com alpha=30^circ e v0=400 m / s, em que instante a bala atingirá o solo? A que distância da arma? Qual terá sido a altura máxima alcançada pela bala?

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um projétil sem resistência do ar, com equações paramétricas
x=l(v0cosalphar)t e y=l(v0sinalphar)t - tfrac12,g,t^2,
onde g=10 m/s^2. Foi dado alpha=30^circ e v0=400 m/s. Precisamos achar:
  1. o instante t em que y=0 (término da trajetória),
  2. a distância horizontal x nesse instante,
  3. a altura máxima atingida.

Passo 2

Para encontrar o instante em que a bala atinge o solo, fazemos y=0 (além de t=0), então
l(v0sinalphar)t - tfrac12,g,t^2=0 ;Longrightarrow; tl(v0sinalpha - tfrac12,g,tr)=0,
de onde o tempo não-nulo é
tf = 2,v0,sinalphag

Passo 3

Substituindo v0=400 m/s, sin30^circ=tfrac12 e g=10 m/s^2,
tf = 2 times 400 times tfrac1210 = 40010 =40segundos

Passo 4

A distância horizontal (alcance) é
xf = l(v0cosalphar),tf,
onde cos30^circ=tfracraiz32. Logo,
xf = 400 times tfracraiz32 times 40 = 8000,raiz3;m approx 1,39times10^4;m

Passo 5

Para a altura máxima usamos o instante do vértice
tp = v0sinalphag = 400timestfrac1210 =20;s,
e calculamos
ymax = l(v0sinalphar)tp - tfrac12,g,tp^2 = 400timestfrac12times20 - tfrac12times10times20^2 =4000 - 2000 =2000;m

Resposta

Tempo de voo: 40 s
Alcance horizontal: 8000raiz3 m (aprox. 1,39times10^4 m)
Altura máxima: 2000 m

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